Một số dạng bài tập về số phức - Nguyễn Trung Kiên

1 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26z i= + Giải: 3 18 26z i= + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 18 18 26 18 3 26 3 3 26 x xy x yi i x y y x xy x y y  − =⇔ + = + ⇔ ⇔ − = − − = Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1 3, 1 3 t x y= ⇒ = = . Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2;z z thoả mãn 1 2 1 2; 3z z z z= + = Tính 1 2z z− Giải: Đặt 1 1 1 2 2 2;z a b i z a b i= + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 b a b a a b b  + = + =  + + + = ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1a b a b a a b b z z⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − = Giải: Ta có ( )22' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là 1 25 12 , 3 4z i z i= − = + Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: z1 = z2 = Ví dụ 3) Giải phương trình 3 29 14 5 0z z z− + − = Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( )( )22 1 4 5 0z z z− − + = . Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là 1 2 3 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i= = − = + Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 22 5 3 3 (2 1) 0z z z z i− + + + + = biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 3 22 5 3 3 0 2 1 0 z z z z  − + + =  + = thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( )22 1 3 3 0z z z i+ − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược 1 ; 2 ; 1 2 z z i z i= − = − = + Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( ) ( )3 2 2 3 2(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0bi i bi i bi i b b b b b i+ − + − − = ⇔ − + − + + − = 2 3 2 0 1 2 2 0 b b b z i b b b  − =⇔ ⇒ = ⇒ = − + + − = là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương ñương với ( )( )2 (1 ) 2 0z i z i z− + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2z z= . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2a bi a bi+ = + 2 2 2 a b a ab b  − = ⇔  = − Giải hệ trên ta tìm ñược 1 3 ( , ) (0;0), (1;0), ( ; ) 2 2 a b = − ± . Vậy phương trình có 4 nghiệm là 1 3 0; 1; 2 2 z z z i= = = − ± Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: 1 2 2z i z i+ − = − + và 5z i− = Giải: Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 ) ( 1) | 5 x y i x y i x y i  + + − = − + −  + − = ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 ( 2) ( 2) (1 ) 1 5 x y x y x y  + + − = − + −⇔  + − 6 4 0 y x x x = ⇔  − − = 1, 3x y⇔ = = hoặc 2 6 , 5 5 x y= − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ; 1 ( 2 ) i m z m R m m i −= ∈ − − a) Tìm m ñể z = b)Tìm m ñể 1 4 z i− ≤ c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 4 i m m mii m m m m m m z m mi m mi m mi m m − − −− − − + + − += = = − + − + − − − + 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 22 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 11 m m i m m m i z i m m m mm + + += = + ⇒ = − + + + ++ ( 1 1 . 1 2 1 2 21 m z z m m m + ⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± + b) Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 m m m z i i i m m m m  − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ + + + +  ⇔ 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 16 1 (1 ) (1 ) 16 1 6 15 15 m m m m m m m m m ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ + + + c) Ta có ( 22 1 1 1 | | 1 z m mm += = ≤ ⇒ = ⇔ = ++ Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện 2 4 5z i− − = Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( )2 22 4 5x y− + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính 5R = Dễ dàng có ñược (2 5 sin ;4 5 cos )M α α+ + . Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z|2= 2 2 2(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )OM α α α α= + + + = + + Theo BDT ta có ( )2 2 2(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5α α α α+ ≤ + + = 5 sin 2cos 5α α⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5z⇒ ≤ ≤ . Vậy min 1 2 | | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2 5 5 z x y z iα α α α− −= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + max 1 2 | | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6 5 5 z x y z iα α α α= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 4 2z i z i− − = − .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( )2 2 222 4 2 4 0x y x y x y− + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có 2 2 2 2 2 2(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy min 2 2 2 2 2 2z x y z i= ⇔ = ⇒ = ⇒ = + Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) 3 z z i = − b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + = 4 Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 2 9 9 3 9( ( 1) ) ( ) 8 64 z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − = Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm 9 3 (0; ), 8 8 I R = b) Từ giả thiết ta có ( )22 2 23 (4 ) 6 8 25x y x y x y+ = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các ñiểm M là ñường thẳng c) Giả sử z =x+yi thì 4z i z i− + + = ( ) ( )2 22 21 1 4x y x y⇔ + − + + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 22 2 2 22 2 2 1 161 4 2 1 41 16 8 1 1 x yx y x y yx y x y x y   + + ≤+ + ≤ ⇔ ⇔  + − = + + − = − + + + + +  ( ) ( 2 2 2 2 1 16(1) 1 16 4 4 8 4 8 16 1(2) 3 y x y x y x y y y y y y  + + ≤ + + ≤   ⇔ + + + = + + ⇔ + =   ≥ − ≥ −   Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt 2 2 1 3 4 x y+ = . Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức ( )1 3 2i zω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1z − ≤ 2. Giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ Ta có 1z − ≤ 2 ( )2 21 4a b⇔ − + ≤ (1) Từ ( ) ( )( ) 3 2 3 1 31 3 2 1 3 2 3 3 3( 1) x a b x a b i z x yi i a bi y a b y a b ω  = − + − = − + = + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔  = + − = − +   Từ ñó ( ) ( ) ( )22 2 23 3 4 1 16x y a b − + − ≤ − + ≤  do (1) Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( ) ( )223 3 16x y− + − ≤ ; tâm ( )3; 3I , bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số có acgumen bằng 3 π . Giải: 5 Giả sử z=x+yi, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 222 2 2 2 x yi x yix yiz z x yi x y − + + +   − +−    = = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 x y yi x x x y y i x y x y x y − + + + − + + −= = + + + − + − + (1) Vì số phức có acgumen bằng 3 π , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 22 2 4 4 cos sin 3 32 2 x y y i i x y x y π πτ+ −  + = +   − + − + với 0τ > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 22 x y x y y x + − = − + ⇒   =  − + Từ ñó suy ra y>0 (1) và 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 (2) 4 3 3 3 y y x y x y x y    = ⇔ + − = ⇔ + − =   + −     .Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1z ≤ thì 2 1 ≤ + Giải: Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 21 1z a b a b= + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 2 2 2 2 4 (2 1)2 1 2 (2 1) 2 (2 ) (2 ) a bz a b i iz b ai b a + −− + −= = + − + − + .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1 (2 ) a b a b b a a b dpcm b a + − ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒ − + Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện ≤ . Chứng minh rằng: ≤ Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức 1 2,z z bất kỳ ta có 1 2 1 2z z z z+ ≤ + Ta có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3z z z z z z z z z z z z z z    + = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +        Đặt =a ta có ( ) ( )23 3 2 0 2 1 0a a a a dpcm− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ 6 II) D ẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: a) ( )1 cos sin 1 cos ϕ ϕ ϕ − + + + b) ( ) ( )1 cos sin 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +   Giải: a) ( ) ( ) ( ) 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − − = + + + + 2 sin cos sin cos 2 2 2 2 2tan tan 2 22cos 2 sin cos cos sin 2 2 2 2 2 i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = = = − + + - Khi tan 0 2 ϕ > dạng lượng giác là: tan cos sin 2 2 2 i ϕ π π    − + −          - Khi tan 0 2 ϕ < dạng lượng giác là: tan cos sin 2 2 2 i ϕ π π    − +          - Khi tan 0 2 ϕ = thì không có dạng lượng giác. ( ) ( )) 1 cos sin 1 cos sin 2sin sin cos .cos cos sin 2 2 2 2 2 2 b i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + + +      = − +        2sin cos isin 2 2 π πϕ ϕ ϕ    = − + −          - Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh. - Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin 2 2 i π πϕ ϕ ϕ    − + −          - Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( 2sin ) cos sin 2 2 i π πϕ ϕ ϕ    − + + +          Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: a) ( )1 cos sin 1 cos ϕ ϕ ϕ − + + + b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + Giải: a) ( ) 2 sin cos1 cos sin 1 cos sin 2 2tan tan 1 cos sin 2 22cos 2 sin .cos cos sin 2 2 2 2 2 ii i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ −− + − −= = = − + + + − Khi thì dạng lượng giác là sin 2 2 i π π    − + −          7 Khi thì dạng lượng giác là - sin 2 2 i π π    +          Khi thì không tồn tại dạng lượng giác. b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + 2sin sin cos .2cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 2 i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π πϕ ϕ ϕ    = − +            = − + −          - Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh - Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin 2 2 i π πϕ ϕ ϕ    − + −          - Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( )2sin cos sin 2 2 i π πϕ ϕ ϕ    − + + +          Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2 2 2 3z i= − + Giải: Ta có: 2 2 2 22 2 3 4 co s sin 3 3 z i z i π π = − + ⇔ = +    Do ñó: 2 2 2 2 2 2 3 4 cos sin 3 3 z i z i π π = − + ⇔ = +    2 2 2 cos sin 1 33 3 1 32 cos sin 3 3 z i z i z iz i π π π π   = +   = + ⇔ ⇔     = − −= − +     Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và 3− Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: ( )1 3z i− + biết một acgumen của z Giải: z có một acgumen nên 1 3 2 2 z z i   = +     Do ñó: ( )1 3z i− + = 1 3( 2) 2 2 z i   − +     - Khi 2z > , một aacgumen của ( )1 3z i− + là 3 π - Khi 0 2z< < , một acgumen của ( )1 3z i− + là 4 3 π 8 - Khi 2z = thì ( )1 3z i− + =0 nên acgumen không xác ñịnh. Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , tìm một acgumen của: a) 22z c)z z+ d) 2z z+ Giải: 1z = , z có một acgumen là ϕ . Do ñó cos sinz iϕ ϕ= + a) ( ) ( )2 2cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = + ⇒ = − Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕ b) ( )cos sin cos sin 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = − ⇒ = − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 cos sin cos sin 2 22 1 1 1 cos sin cos sin 2 22 i i z i i z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π ⇒ = − − − = + ⇒ − = − − = + + + Vậy 1 2z − có một acgumen là ϕ π+ c) Ta có: 2cosz z ϕ+ = Nếu cos 0ϕ > thì có một acgumen là 0 Nếu cos 0ϕ < thì có một acgumen làπ Nếu cos 0ϕ = thì acgumen không xác ñịnh. d) 2 cos 2 sin 2 , cos sinz z i z iϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = − ( )2 3 3cos 2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin 2 2 2 2 3 2cos cos sin 2 2 2 z z i i i ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⇒ + = + + − = +  = +    Vậy acgumen 2z z+ là 2 ϕ nếu 3 cos 0 2 ϕ > , là 2 ϕ π+ nếu 3cos 0 2 ϕ < và không xác ñịnh nếu 3 cos 0 2 ϕ = Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin 7 7 z i π π= − − . Tính môñun, acgumen và viết z dưới dạng lượng giác. Giải: Ta có: 2 2 8 41 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos 7 7 7 7 7 z π π π π π     = − + = − = + =            Đặt ( )arg zϕ = thì 2 8 sin sin 47 7tan cot tan 4 7 141 cos 2sin 7 7 π π π πϕ π π −  = = = = −   − 9 Suy ra: , 14 k k z πϕ π= − + ∈ Vì phần thực 1 cos 0 7 π− > , phần ảo sin 0 7 π− < nên chọn một acgumen là 14 π− Vậy 4 2cos cos i sin 7 14 14 z π π π    = − + −          Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1 3 z = và một acgumen của là Giải: Theo giả thiết 1 3 z = thì ( )1 cos sin 3 z iϕ ϕ= + ( ) ( ) ( )( )1 1cos sin cos sin 3 3 z i iϕ ϕ ϕ ϕ⇒ = − = − + − Vì 1 2 1 2 2 cos sin 2 2 4 4 i i i π π   + = + = +        Nên 1 os sin 1 4 43 2 z c i i π πϕ ϕ    = − − + − −    +      Do ñó: 3 2 2 , . 4 4 2 k k k π π πϕ π ϕ π− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ vậy 1 os sin . 3 2 2 z c i π π = +    Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: 3 1 z i z i + = + và z+1 có một ácgumen là 6 π− Giải: Từ giả thiết 3 1 z i z i + = + ( ) ( )2 22 23 ( 3) ( 1) 3 1 2 z i z i x y i x y i x y x y y ⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + ⇒ = − z+1 có 1 acgumen bằng 6 π− tức là ( )1 [ os sin ] 3 6 6 2 z c i i π π ττ    + = − + − = −        với r>0. Ta có suy ra 3 1 42 2 3 1 2 2 3 = = ⇔ ⇒ = − −  = −− = −  Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN T Ổ HỢP Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 a) 0 2 4 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n nS C C C C C − + + + + += − + − + − b) 1 3 5 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n nS C C C C C − + + + + + += − + − + − Giải: 10 Xét ( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ..... ... ( .. )n n n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C C i C C C+ + + ++ + + + + + + + + ++ = + + + + = − + − + − + − Mặt khác ta lại có: ( ) 2 12 1 (2 1) (2 1)1 2 cos sin 1 2 cos sin 4 4 4 4 nn n n i i i i π π π π++ + +   + = + ⇒ + = +       = (2 1) (2 1) (8 3) (8 3) 2 2 cos sin 2 2 cos sin 4 4 4 4 n nn n k ki i π π π π+ + + +   + = +       3 3 2 2 cos sin 2 2 4 4 n n ni i π π = + = − +   Từ ñó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: a) 2 4 61 n nS C C C= − + − + b) 1 3 5 7 n n nS C C C C= − + − + Giải: Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 71 ..... 1 ... ( ....)n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − + ( )1 2 cos sin 1 2 cos sin 4 4 4 4 nn n n i i i i π π π π   + = + ⇒ + = +       Từ ñó ta có kết quả a) 2 cos 4 n n S π= b) 2 sin 4 n n S π= Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 1 1 ... 2 2cos 3 3 n n n n C C π + + + = +    Giải: Ta có 0 1 2 32 ....n nn n n n nC C C C C= + + + + (1) Xét 3 2 2 cos sin 1 3 3 i π πε ε= + ⇒ = Ta có ( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 41 ...... .....n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + (2) ( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 41 ...... .....(3)n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + Ta có 2 21 0;1 os sin ;1 os sin 3 3 3 3 c i c i π π π πε ε ε ε+ + = + = − + = + Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 6 0 3 62 1 1 3 ... 2 2cos 3 n n n n n n n n C C C C C C πε ε+ + + + = + + + ⇔ + = + + + 3 6 11 ... 2 2cos 3 3 n n n n C C π ⇔ + + + = +    11 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Giải phương trình sau trên tập số phức: 3)a z z= ) 3 4b z z i+ = + ( )22) 4 3c z z i− = 2) 2 1 0d z z i+ + − = 2) 4 5 0e z z+ + = 2)(1 ) 2 11 0f i z i+ + + = 2) 2( ) 4 0g z z z− + + = 2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: ) 1 4 2 5xa i −+ − ≤ 2 1 7 ) log 1 4 i b x + − ≤ 2 1 2 2 )1 log 0 2 1 x i c  + + −  − ≥  −  3) Tìm số phức z sao cho ( 2)( )A z z i= − + là số thực 4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện là số thực 5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện ( )22) 9a z z− = 2) 4 2 z i b z i − = + )3 3c z i z z i+ = + − ) 3 4 2d z i+ − = ) 1e z z i+ ≥ + ) 4 3f z z i= + − 2) 1 2 z i g z i − > + )2 2h z i z z i− = − + 1 3 2 2 ) log ( ) 1 4 2 + > − − 6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 3 2 3 2 z i− + = . Tìm số phức z có modun lớn nhất. 7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( ) ( )1 2z z i− + là số thực và z nhỏ nhất. 8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i z+ = 9) Tìm số phức z thoả mãn 2 2z z+ = và 2z = 10) Giải hệ pt sau trong tập số phức: 2 2 2 2 ) 4 z i z z i a z z  − = − +  − = 1 2 1 2 3 ) 1 1 3 5 z z i b i z z + = −  + + =  2 1 2 2 2 1 1 0 ) 1 0 z z c z z  − + =  − + = 12 5 8 − = −  − =  − 3 2 2010 2011 2 2 1 0 ) 1 0 z z z e z z  + + + =  + + = 11) Cho phương trình 3 22 (2 1) (9 1) 5 0z i z i z i− + + − + = có nghiệm thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 12) Tìm phần thực phần ảo của = + biết 1 w 1 w + = 13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo: 2 6 ) 3 3 n i a z i  − +=   +  4 6 ) 1 5 n i b z i + =  − +  7 4 ) 4 3 n i c z i + =  −  3 3 ) 3 3 i d z i  −=   −  12 14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng ( )0 2 4 6 2 22 2 2 2 2 2 3 9 27 ..... 3 2 cos 3 n n n n n n n n n C C C C C π− + − + + − = 15) Tìm số phức z sao cho 2z z= − và một acgumen của z-2 bằng một acgumen của z+2 cộng với 2 π 16) Giải phương trình a) 2 2 10 4 i c = + + − b) 2 2 12 6 i= + + − Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên