Bài tập tổ hợp và nhị thức Newton - Nguyễn Việt Hùng

Thể loại: Đề thi Kiểm tra
Lượt xem: 83,449Lượt tải: 4Số trang: 5

Mô tả tài liệu

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung "Bài tập tổ hợp và nhị thức Newton" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn 33 câu hỏi bài tập có đáp án về tổ hợp và nhị thức Newton.

Tóm tắt nội dung

BÀI TẬP TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON Nguyễn Việt Hùng Bài 1. Chứng minh rằng a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + · · ·+ n.Pn = Pn+1; b) 1 P2 + 2 P3 + · · ·+ n− 1 Pn < 1. Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau a) Ckn + 4C k−1 n + 6C k−2 n + 4C k−3 n + C k−4 n = C k n+4; b) 1 A22 + 1 A23 + · · ·+ 1 A2n = n− 1 n ; c) C1n + 2 C2n C1n + 3 C3n C2n + n Cnn Cn−1n = C2n+1. Bài 3. a) Chứng minh rằng Ckn = C k−1 n−1 + C k−1 n−2 + · · ·+ C k−1 k−1 . b) Áp dụng kết quả ở câu a) hãy tính các tổng quen thuộc sau • S1 = 1 + 2 + · · ·+ n; • S2 = 1.2 + 2.3 + · · ·+ n(n + 1); • S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2); • S4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2)(n + 3); • S5 = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4). Bài 4. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8. Bài 5. Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển thành đa thức của a) P (x) = (1 + √ x + 1 3 √ x )10, b) Q(x) = (1 + x + x2 + 1 x )10. 1 Bài 6. Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức (a) P (x) = (2x + 1)13; (b) Q(x) = ( x 2 + 2 3 )14 . Bài 7. (a) Tìm hệ số của số hạng chứa x3y2z2 trong khai triển thành đa thức của (x + 2y − 3z)7. (b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ( 1− x2 + 1 x3 )9 . Bài 8. Tìm số nguyên dương n để hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển (2x + 3)n = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn là a10. Bài 9. Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau trong khai triển của( 3 √ a√ b + √ b 3 √ a )21 . Bài 10. Cho P (x) = (1 + x + x3 + x4)4 = a0 + a1x + a2x2 + · · · + a16x16. Tìm giá trị của a10. Bài 11. a) Tìm các số hạng nguyên trong khai triển của ( √ 2− 3 √ 3)11. b) Trong khai triển ( √ 2− 4 √ 3)128 có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Bài 12. Chứng minh rằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển ( x + 1 x )23 thành đa thức là một số chính phương. Bài 13. Tìm hệ số của x50 trong khai triển thành đa thức P (x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 + · · ·+ 1000(1 + x)1000. Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị C0n, C 1 n, C 2 n, . . . , C n n . Bài 15. Tìm số nguyên dương n sao cho C12n+1−2.2C22n+1 +3.22C32n+1−4.23C42n+1 + · · ·+(2n+1).22nC2n+12n+1 = 2005. Bài 16. Tính tổng a) S = C02n + C 2 2n + · · ·+ C2n2n ; b) T = C12n + C 3 2n + · · ·+ C 2n−1 2n . 2 Bài 17. Tính tổng S = C02n + 2C 2 2n + 2 2C42n + · · ·+ 2nC2n2n . Bài 18. Tính tổng S = C04n + C 2 4n + · · ·+ C2n4n . Bài 19. Tính tổng S = 1C1n + 2C 2 n + · · ·+ nCnn . Bài 20. Tính tổng S = 1 1 C0n + 1 2 C1n + 1 3 C2n + · · ·+ 1 n + 1 Cnn . Bài 21. Tính tổng S = 1.2C2n + 2.3C 3 n + · · ·+ (n− 1)nCnn . Bài 22. Tính tổng S = 12C1n + 2 2C2n + · · ·+ n2Cnn . Bài 23. Chứng minh rằng 1 2 C12n + 1 4 C32n + · · ·+ 1 2n C2n−12n = 22n − 1 2n + 1 . Bài 24. Tính tổng S = 1 1.2 C0n + 1 2.3 C1n + · · ·+ 1 (n + 1)(n + 2) Cnn . Bài 25. Tính tổng S = n∑ k=0 2k/3Ckn 32k+1 . Bài 26. Chứng minh đẳng thức (C02n) 2 − (C12n)2 + (C22n)2 − · · ·+ (C2n2n )2 = (−1)nCn2n. HD: Xuất phát từ đẳng thức (1 + x)2n(1 − x)2n = (1 − x2)2n sau đó đồng nhất hệ số của x2n ở hai vế. Bài 27. Thu gọn các tổng sau đây 1. C1n − 2C2n + 3C3n − · · ·+ (−1)nnCnn . 2. C0n + 2C 1 n + · · ·+ nCn−1n . 3. C2n + 2C 3 n + · · ·+ (n− 1)Cnn . 4. C2n − 2C3n + · · ·+ (−1)n(n− 1)Cnn . 3 5. 1 2 C1n − 1 3 C2n + · · ·+ (−1)n+1 n + 1 Cnn . 6. 1 2 C0n + 1 3 C1n + · · ·+ 1 n + 2 Cnn . 7. 22 2 C1n + 23 3 C2n + · · ·+ 2n+1 n + 1 Cnn . 8. 1 2 C1n + 2 3 C2n + · · ·+ n n + 1 Cnn . 9. C02n + 1 3 C22n + 1 5 C42n + · · ·+ 1 2n + 1 C2n2n . 10. 2C22n + 4C 4 2n + · · ·+ 2nC2n2n . 11. 22 2 C12n + 24 4 C32n + 26 6 C52n + · · ·+ 22n 2n C2n−12n . 12. 1.22C22n + 2.2 4C42n + · · ·+ n.22nC2n2n . 13. C1n + 2 2 C2n + 3 22 C3n + · · ·+ n 2n−1 Cnn . 14. C0n + 22 − 1 2 C1n + 23 − 1 3 C2n + · · ·+ 2n+1 − 1 n + 1 Cnn . 15. 1.2.3C3n + 2.3.4C 4 n + · · ·+ (n− 2)(n− 1)nCnn . 16. 1 1.2.3 C0n + 1 2.3.4 C1n + · · ·+ 1 (n + 1)(n + 2)(n + 3) Cnn . 17. C12010 + 1 2 C32010 + 1 3 C52010 + · · ·+ 1 1005 C20092010 . 18. 1 1!(2n− 1)! + 1 3!(2n− 3)! + 1 5!(2n− 5)! + · · ·+ 1 (2n− 1)!1! . 19. 3 1! + 2! + 3! + 4 2! + 3! + 4! + · · ·+ 2010 2008! + 2009! + 2010! . 20. S = n∑ k=0 k!(k2 + k + 1) ; T = n∑ k=0 1 (n− k)!(n + k)! . Bài 28. Chứng minh đẳng thức a) n∑ k=1 kCkn(tan x) k−1 = n(1 + tan x)n−1; 4 b) n∑ k=1 kCkn(tan x) 2k−2 = n (cos x)2n−2 ; c) n∑ k=1 kCknx k(1− x)n−k = nx. Bài 29. Chứng minh đồng nhất thức Vandermonde C0mC k n + C 1 mC k−1 n + · · ·+ CmmCk−mn = Ckm+n. Bài 30. Chứng minh rằng a) (C0n) 2 + (C1n) 2 + · · ·+ (Cnn )2 = Cn2n; b) n∑ k=0 CknC n+k 2n = C n 3n. Bài 31. Chứng minh rằng n∑ k=0 Ckn Ck+1n+k+2 = 1 2 . Bài 32. Chứng minh đẳng thức a) C0nC k n + C 1 nC k−1 n−1 + C 2 nC k−2 n−2 + · · ·+ CknC0n−k = 2kCkn; b) C0nC k n − C1nCk−1n−1 + C2nC k−2 n−2 − · · ·+ (−1)kCknC0n−k = 0. HD: Sử dụng đồng nhất thức Newton. Bài 33. Chứng minh đẳng thức (a) n∑ k=0 (2n)! [k!(n− k)!]2 = (Cn2n) 2. (b) n∑ k=1 k(Ckn) 2 = n 2 Cn2n. 5