Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1

Thể loại: Toán học
Lượt xem: 23,322Lượt tải: 5Số trang: 59

Mô tả tài liệu

Giáo trình này được viết dựa trên đề cương chi tiết học phần xác suất thống kê dành cho sinh viên các ngành khối A nói chung và các ngành Công nghệ nói riêng. Tác giả có điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng người học là những người tốt nghiệp Trung học phổ thông. Giáo trình gồm 6 chương chia thành 2 phần. Mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây.

Tóm tắt nội dung

2 Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất 29 2.2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên . khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện, tính độc lập của các biến cố, dãy phép thử ... bày các vấn đề liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, các loại đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối, bảng phân phối và hàm mật độ xác suất, các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, ... Trong lí thuyết xác suất, nhiều khi phải tính số phần tử của một tập hợp. tổ hợp cho ta một phương pháp tính số phần tử đó một cách nhanh chóng và chính Mỗi số cần tìm có dạng x = a1a2a3a4 với Vì x là số chẵn, nên ta chọn a4 Vì x là số chẵn, nên a4 = 2 hoặc a4 = 4. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân suy ra số các số cần tìm là n = 2.4.3.2 = 48. Giả sử các phần tử của một tập hợp có thể được chia thành k loại khác nhau; Dựa vào quy tắc cộng, ta có thể chuyển bài toán về tính số phần tử của một tập Từ đó, áp dụng quy tắc cộng, suy ra số các số cần tìm là Mỗi cách sắp xếp n phần tử cho trước theo một thứ tự nhất định gọi là Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử đã cho là Pn. Định lý. Số hoán vị của n phần tử là Do đó, theo qui tắc nhân, số hoán vị của n phần tử là viên đó là P25 = 25!. gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ k ≤ n). Ký hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn. Bằng lập luận tương tự như Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó (k ≥ 0). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được kí hiệu là Ãkn. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho là Mỗi chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là kết quả của hành động chọn gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ k ≤ n). Ký hiệu Ckn là số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k của n phần tử là Với a = 1, b = -1 ta có 0 = Nếu thay b bởi -b thì ta có công thức Như ta đã biết, các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội có thể được chia làm hai Hiện tượng tất nhiên là hiện tượng chắc chắn xảy ra khi có một họ điều kiện nào Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi có một tượng " Mặt sấp xuất hiện" và "Mặt ngửa xuất hiện" là các hiện tượng ngẫu thử ngẫu nhiên là một hành động mà kết quả của nó là ngẫu Tuy nhiên, ta có thể xác định được tập Tập hợp đó được gọi là không gian biến cố sơ Mỗi phần tử ω của Ω sẽ được gọi là một biến cố sơ cấp Tuy nhiên, có thể xác định được các kết quả có thể có là S và N. hành động tung đồng tiền là một phép thử ngẫu nhiên và không gian biến cố sơ cấp Giả sử G là một phép thử ngẫu nhiên. ra của nó phụ thuộc hoàn toàn vào kết quả của G, được gọi là một biến cố của G. Một BCSC ω của G được gọi là thuận lợi cho biến cố A nếu khi kết quả của G là “xuất hiện mặt i chấm", C là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm chẵn", L là biến cố Nhận xét rằng một biến cố được xác định hoàn toàn với tập hợp các BCSC thuận Vì lí do đó, trong lí thuyết xác suất; người ta đồng nhất một biến cố với tập con của Ω gồm các BCSC thuận lợi cho biến cố đó. Như vậy, có thể hiểu nôm na là, các biến cố được tạo nên từ các BCSC. Một biến cố được gọi là biến cố không thể có, nếu nó không thể xảy ra khi phép Như vậy không có BCSC nào của Ω thuận lợi cho biến cố không Do đó, biến cố không thể có được đồng nhất với tập ∅. Một biến cố được gọi là biến cố chắc chắn, nếu nó chắc chắn xảy ra khi phép thử Một biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên, nếu nó có thể xẩy ra hoặc không xảy Các biến cố C = và L = là các biến cố ngẫu nhiên. là tập con của tập hợp các BCSC thuận lợi cho B. Hai biến cố A và B gọi là bằng nhau (hay tương đương) nếu A Biến cố A được gọi là hợp của 2 biến cố B và C nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong 2 biến cố B hoặc C xảy ra. Biến cố A được gọi là hợp của họ biến cố Ai(i ∈ I) nếu A xảy ra khi và chỉ Biến cố A được gọi là giao (tích) của 2 biến cố B và C nếu A xảy Biến cố A được gọi là giao (tích) của họ các biến cố Ai, (i ∈ I) nếu A xảy Biến cố A được gọi là hiệu của biến cố B với biến cố C nếu A xảy Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không Nói cách khác, A và B được gọi là xung khắc nếu Biến cố A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A nếu A xảy ra Họ n biến cố H1, H2, ..., Hn được gọi là họ đầy đủ các biến Nói cách khác, H1, H2, ..., Hn là họ đầy đủ các biến cố nếu khi phép thử được thực hiện thì có một và chỉ một trong các biến cố đó xảy ra. Quan hệ và phép toán trên tập hợp các biến cố có tất cả các tính chất của quan Nói chung, một biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực năng xuất hiện của biến cố A gọi là xác suất của biến cố đó và được kí hiệu là gọi là xác suất của biến cố A. Các biến cố có cùng khả năng xuất hiện được gọi là các biến cố đồng khả năng. Gọi A,B,C là các biến cố nêu trong các câu a, b, c tương ứng. b. Số cách chọn 3 em trong đó có 1 em yếu là và các dụng cụ thử là cân đối, đồng chất. lập nhau; A là một biến cố của G. được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử. định nghĩa là xác suất của biến cố A và được ký hiệu là nghĩa xác suất bằng tần suất chỉ áp dụng được cho các phép thử ngẫu ra, ta chỉ có thể xác định được tương đối chính xác giá trị của xác suất khi trường hợp không gian BCSC Ω của phép thử G có vô số BCSC có cùng khả năng xuất hiện và Ω có thể biểu diễn bởi một tập đo được thì ta có định nghĩa sau Giả sử không gian BCSC Ω của phép thử có vô số BCSC có cùng khả được gọi là xác suất của biến cố A. Trong đó “tập đo được" là tập trên đường thẳng (mặt phẳng, không gian) có độ dài Gọi thời điểm đến điểm hẹn của người thứ nhất là x, của người thứ 2 là y Các định nghĩa xác suất trình bày ở trên có ưu điểm là khá trực quan và rất tiện Ω được gọi là một σ- đại số, nếu Giả sử Ω là một tuỳ ý khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của Ω. xạ P : F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu Bây giờ, giả sử Ω là tập bất kỳ khác rỗng, F là một σ- đại số các tập con của Ω, P là Khi đó, bộ ba (Ω,F ,P) được gọi là không gian xác suất. Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp. σ- đại số F được gọi là σ- đại số các biến cố. Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố. Nếu A ∩B = AB = ∅ thì A,B được gọi là các biến cố xung cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có. Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của gian xác suất (Ω,F ,P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố. không gian xác suất (Ω,F ,P), ta luôn xem đó là không gian xác suất đầy đủ. Tuy nhiên, sau này ta sẽ gặp những biến cố có xác suất bằng 1 nhưng 1. Giả sử G là một phép thử mà không gian BCSC Ω của nó gồm n BCSC có cùng Gọi F là họ tất cả các tập con của Ω. Trong đó |A| là số phần tử của A. 2. Giả sử G là một phép thử mà không gian các BCSC của nó có vô số BCSC có Dễ thấy (Ω,F ,P) lập thành một không gian xác suất. Bây giờ, giả sử A là một biến cố của phép thử. Gọi F là σ- đại số tất cả các tập Dễ thấy ánh xạ P : F → R xác định như trên là xác suất và (Ω,F ,P) trở thành một Khi đó, xác suất của chúng có các tính chất 4. Nếu A ⊂ B thì P(B\A) = P(B) − P(A) và do Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính xác suất của một biến cố khi biết một biến cố Xác suất đó gọi là xác suất có điều kiện và được định nghĩa như sau. Giả sử A và B là các biến cố. Xác suất của B được tính với giả thiết A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và được kí hiệu là suất của B với điều kiện A còn được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với Vậy thì rõ ràng P(B/A) là Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác gọi là xác suất của B với điều kiện A. 1. Nếu P(A) = 0 thì vẫn có P(B/A) nhưng không thể áp dụng công thức (1). 2. Tuỳ theo tình huống cụ thể mà có thể tính P(B/A) theo một trong hai định 3. Nếu (Bn) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì Trước hết nhận xét rằng nếu (Bn) là dãy biến cố đôi một xung khắc (3) suy ra rằng, Nếu A là một biến cố, P(A) > 0 thì ánh xạ PA : F → R Giả sử A1, A2, ..., An (n > 2), là n biến cố bất kì sao cho > 0. , Hn là họ đầy đủ các biến cố và P(Hi) > 0,(∀i = 1, 2, . (Điều này có nghĩa là số học sinh yếu của lớp 12 chiếm 12, 8% số học sinh yếu của Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu Qua chứng minh trên, ta thấy rằng hai đẳng thức P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) đều tương đương với định nghĩa độc lập và do đó tương đương với 2. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thoả mãn Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu hai biến cố Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độc lập), nếu đối “xuất hiện màu vàng"; X là biến cố “xuất hiện màu xanh". Do đó họ các biến cố T, V,X độc lập đôi một. P(TV X) = Đối với dãy độc lập các biến cố, ta có tính chất quan trọng sau đây, gọi là 0− 1 Giả sử (An, n ≥ 1) là dãy các biến cố. ii) Xác suất của biến cố A là P(A) = p như nhau đối với mỗi phép thử trong n phép Vậy xác suất để A xuất hiện k lần (0 6 k 6 n) là bao lý.Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử là P(A) = p. xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép thử Bernoulli là Ký hiệu Ak là biến cố “A xuất hiện đúng k lần khi thực hiện n phép thử Vậy thì Ak là hợp của các biến cố dạng (ω1, ω2, . là A hoặc A và A có mặt ở k vị trí, A có mặt ở (n − k) vị trí. lợi cho Ak. Do tính độc lập của các phép thử nên xác suất của mỗi biến cố là là tính xác suất của biến cố B: “Số lần xuất hiện A lớn hơn hoặc bằng k1 và nhỏ hơn Xác suất này thường được kí hiệu là pn(k1, k2, p). n = 10 k = 2 nên ta có ý.Khi n, k và (n − k) đều khá lớn thì việc tính pn(k; p) và pn(k1, k2; p) theo các q = 1− p ϕ(x) = 1√ được gọi là số có khả năng nhất. Như vậy k0 là số có khả năng nhất nếu trong các biến cố Ak “A xảy ra k lần" , n) thì biến cố Ak0 “A xảy ra k0 lần" là biến cố có khả năng xảy ra Nếu np− q là số nguyên thì pn(k; p) đạt cực đại tại hai giá trị của k là k0 = np− q Nếu np − q không nguyên thì pn(k; p) đạt cực đại tại giá trị của k0 là số là k0 = [np− q + 1] = [(n+ cố, xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện. - Định nghĩa, khái niệm, tính chất của phép thử ngẫu nhiên và biến cố. - Các định nghĩa khác nhau về xác suất của biến cố và các tính chất cơ bản của nó. - Định nghĩa và tính chất của xác suất có điều kiện. - Vận dụng thành thạo các kiến thức về tổ hợp để tính xác suất của các biến cố, đặc - Nắm bắt các tính chất của xác suất biến cố để chứng minh những đẳng thức, bất - Nhận diện được dãy phép thử Bernoulli và áp dụng tính xác suất của biến cố và tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. 5. Chứng minh rằng, nếu A, B, C là các biến cố thì 6. Giả sử A, B là các biến cố. , An, C là các biến cố, Chứng minh rằng 9. Giả sử A và B là các biến cố độc lập và P(A ∪ B) = 1. Giả sử A và B là các biến cố độc lập. Giả sử A và B là các biến cố độc lập, P(A ∪ B) = P(A) + = p và Các biến cố A, B và C độc lập và đều có xác suất khác 0 và khác 1. rằng các biến cố AB, BC và AC không độc lập đôi một, do đó không độc lập. Giả sử A, B, C là các biến cố thoả mãn: A độc lập với BC và với B ∪C; B độc lập với AC ; C độc lập với AB; A, B, C đều có xác suất sử ε > 0, hai biến cố A, B được gọi là hai biến cố ε-độc lập nếu a) Nếu A, B là ε - độc lập, thì A, B và A, B cũng ε - độc lập. b) Nếu A là biến cố thoả mãn P(A) 6 ε hoặc P(A) > 1− ε thì A là biến cố ε - độc lập c) Nếu biến cố A là biến cố ε - độc lập với chính nó thì hoặc P(A) 6 2ε hoặc b) Rút hú hoạ một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một bi thì được bi trắng. là tốt và một bóng đèn hỏng có xác suất 0, 95 bị loại bỏ. b) Rút hú hoạ một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một bi thì được bi trắng. b) Tìm xác suất bị bệnh, không bị bệnh trong nhóm người có phản ứng dương tính. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Một đại lượng nhận các giá trị bằng số, phụ thuộc vào kết quả của phép thử được gọi là đại lượng ngẫu đại lượng ngẫu nhiên gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó có Tập hợp các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X được kí hiệu là X(Ω). Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và X(Ω) = {0, 1, 2}. Gọi X là số em khá được khiểm tra. Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên rời Như vậy, mỗi đại lượng nhẫu nhiên là một đặc trưng về lượng nào đó của các biến Khi nghiên cứu về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biết tất Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, . xác suất tương ứng là P(X = xi) = pi (i = 1, 2, 3, . được gọi là bảng phân phối của X (chú ý rằng Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. P(X = 0) = P(N,N) = P(X = 1) = = P(X = 2) = P(S, S) = Do đó, bảng phân phối của X là X 0 1 2 Trong các bài toán thực tế, các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên thường gắn với Khi đó, xác suất của các biến cố đó chính là xác suất của hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X hàm số F (x) = FX(x) xác Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. đó, bảng phân phối của X là X 0 1 2 Nếu x 6 0 thì không có giá trị nào của X nhỏ hơn x nên: F (x) = P(X = 0) = Tính chất này suy ra từ định nghĩa và tính chất tương ứng của xác suất. 2. Nếu a < b thì F (b)− F (a) = P(a 6 X < b); do đó F (x) là hàm không giảm. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu hàm phân phối F (x) của nó là hàm liên tục và tồn tại hàm số p(x) sao cho Hàm số p(x) nêu trên được gọi là hàm mật độ xác suất của X. 1. Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối là Khi đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có p(x) = 2. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = Tìm hàm phân phối của X . Nếu x < 0 thì p(t) = 0 ∀t 6 x nên P(a < X < b) p(x)dx = 1. 3. p(x) = F 1. P(a < X < b) = P(X < b)− P(X < a) = = p(x) −(x) = p(x). (x) = p(x). Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu với mọi x, y ∈ R , Họ các đại lượng ngẫu nhiên (Xi)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu với mọi i, j ∈ Từ định nghĩa suy ra rằng nếu X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: thì X và Y độc lập khi và chỉ khi Gọi X là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất; Khi đó X và Y độc lập. Gọi X và Y lần lượt là số viên Vậy thì X và Y cũng độc lập. 2.2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là số EX xác định bởi công thức i xipi nếu X rời rạc và P(X = xi) = pi.∫ +∞ −∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x). 1. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận n giá trị x1, x2, . pi = P (X = xi) = 2. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là p(x) = x2 X 0 1 Ý nghĩa: Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó. nhận các giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó. 3. Nếu tồn tại EX thì với moi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX. 4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY. 5. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì 6. Nếu f : R→ R là hàm liên tục và Y = f(X) thì với P(X = xi) = pi.∫ +∞ −∞ nếu X liên tục có hàm mật độ p(x). 7. (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên không âm. Ta chứng minh các tính chất trên cho các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. 2. Vì P(X = C) = 1 nên EX = C · 1 = C. Khi đó Z = X + Y là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị Zij = xi + yj với các xác suất tương ứng pij = P(X = xi;Y = yj), (i = 1, 2, . Khi đó Z = X.Y nhận các giá trị Zij = xiyj với các xác suất tương ứng pij = P(X = 7. Giả sử G là tập giá trị của X, ta đặt Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập với nhau có bảng phân phối X 0 1 2 Tính EX2; E(X + Y ) và E(XY ) Ý nghĩa: Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó. các giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó. Giả sử X là đại lượng ngẫu đó, số DX = E(X − EX)2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X. đại lượng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếu tồn tại thì có thể (xi − EX)2pi nếu X rời rạc và P(X = xi) = pi.∫ nếu X liên tục có hàm mật độ là p(x). 1. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối X 0 1 2. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) = (x− nghĩa: |X −EX| là độ lệch của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X khỏi EX. đó phương sai DX = E(X − EX)2 chính là trung bình của bình phương độ lệch sai cho biết mức độ phân tán của các giá trị của đại lượng X quanh kỳ vọng của nó. độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX. của X. 3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = hằng số h.c.c. 5. Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y ) = DX +DY Tổng quát: Nếu (Xi)i=1,n là họ đôi một độc lập thì EXEY ) = DX +DY (vì E(XY ) = EX.EY ( Do X và Y độc X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị x0 được gọi là mode của X, nếu X có xác suất lớn nhất tại x0. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì giá trị x0 được gọi là mode của X, nếu p(x) đạt giá trị lớn nhất tại x0. Nếu x0 là mode của X thì ta viết x0 = mod X. Số xp (0 < p < 1) được gọi là phân vị cấp p của hàm phân phối F (x) của đại nhiên X nếu Rõ ràng, nếu F (x) là hàm liên tục thì F (xp) = p. được gọi là trung vị hay median của X và được ký hiệu là m(X). Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên, khi đó số (nếu tồn tại) được gọi là moment cấp k của X, còn số (nếu tồn tại) được gọi là moment trung tâm cấp k của X (moment cấp 1 chính là kỳ được gọi là hệ số bất đối xứng của X. được gọi là hệ số nhọn của X. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = 3x2 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p và được ký hiệu là X ∼ B(n, p) ( n ≥ 1 0 < p < 1), nếu pk = P(X = k) = đình và gọi X là số gia đình có tivi màu. a. Gọi tên phân phối xác suất của X. a. X có phân phối nhị thức với tham số n = 12, p = 0, 75 b. P(X = 5) = C512(0, 75)5(0, 75)7 = 0, 0591 Nếu X ∼ B(n, p) thì Để chứng minh iii) ta chỉ cần nhận xét rằng mod X chính là số có khả năng nhất. Gọi X là số người bỏ a. Tìm giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn của X và mod X b. Tìm P(X 6 có phân phối nhị thứcB(20, 0, 6).Vậy EX = 20.(0, 6) = 12; DX = 20(0, 6)(0, 4) = b. P(X 6 10) = Ta nói rằng đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ và kí hiệu là X ∼ P (λ) nếu P(X = k) = e−λ trong đó λ là một số dương cho ta đã lập bảng để tính sẵn P(X 6 k) = tuần là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = 2. a. P(X 6 3) = 0, 857. b. P(X > 4) = 1− P(X 6 3) = 1− 0, 857 = 0, 143. c. P(X > 4) = 1− P(X ≤ 4) = 1− 0, 947 = 0, 053. d. Gọi Y là số ôtô được thuê. P(Y = 0) = P(X = 0) = 0, 135; P(Y = 1) = P(X 6 1)− P(X = 0) = 0, 406− 0, 135 = 0, 271; P(Y = 2) = P(X = 2) = P(X 6 2)− P(X 6 1) = 0, 677− 0, 406 = 0, 271; P(Y = 3) = P(X = 3) = P(X 6 3)− P(X 6 2) = 0, 857− 0, 677 = 0, 18; P(Y = 4) = P(X > 4) = 1− P(X 6 3) = 1− 0, 857 = 0, 143. Giả sử X ∼ P (λ). P(X = k) P(X = k − 1) Vậy P(X = k) lớn nhất khi k là số nguyên lớn nhất bé hơn λ. a. Số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời gian 2 phút là đại lượng X ∼ P (4). P(X = 5) = e−4 = P(X 6 5)− P(X 6 4) = 0, 785− 0, 629 = 0, 156 b. Số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời gian 30 giây là đại lượng X ∼ P(1). P(X = 0) = e−1 = 0, 3679 c. Số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời gian 10 giây là đại lượng ngẫu nhiên X ∼ P (1 P(X > 1) = 1− P(X = 0) = 1− e Nếu X ∼ P (µ), Y ∼ P (λ) và X, Y độc lập thì Z = (X + Y ) ∼ P (λ+ µ). P(Z = k) = P(X + Y = k) = P(X = i, Y = k − i) P(X = i)P(Y = k − i) = bán trong một ngày đều có phân phối Poisson và chúng độc lập với nhau. Gọi X và Y tương ứng là số tivi và số radio bán được trong ngày. Ta có X ∼ P (1) và Y ∼ P (2), X và Y độc lập. Theo định lý trên thì (X + Y ) ∼ P (3) Vậy P(X + Y > 3) = 1− P(X + Y 6 3) = 1− 0, 647 = 0, 353. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục Z được gọi là đại lượng có phân phối chuẩn tắc nếu hàm mật độ của nó là p(x) = ϕ(x) = Đó là một đường cong đối xứng qua trục tung, có điểm cực đại tại x = 0. uốn của đồ thị là x = ±1. Hàm phân phối của Z, kí hiệu bởi Φ(x), là bảng tính sẵn các giá trị của Φ(x). Chú ý rằng nhiều khi người ta chỉ cho các giá trị của Φ(x) với x > 0. x2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 (trong đó σ > 0) nếu đại lượng ngẫu nhiên Z = Ta hãy tìm hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối theo ta tính các tham số đặc trưng của X. Dễ thấy mode và median của X đều bằng µ. Như vậy tham số µ là kỳ vọng đồng thời cũng là mode và median của phân phối chuẩn Ta có thể tính được các xác suất liên quan tới X bằng cách biến đổi nó về một biến 1. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = 2100 và a. P(X > 2400) b. P(1700 < X < 2200) c. Xác định a để P(X > a) = 0, 03. a. P(X > 2400) = 1− Φ(2400− 2100 b. P(1700 < X < 2200) = Φ( c. P(X > a) = 1− Φ(a− 2100 2. Trọng lượng của một gói đường (đóng bằng máy tự động) có phân phối giả thiết trọng lượng của một gói đườngX có phân phối chuẩn với µ = 1012g P(X > 1015) = 0, 07⇔ 1− Φ(1015− 1012 P(X < 1008) = Φ( Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ > 0 và kí hiệu X ∼ E(λ), nếu nó có hàm mật độ p(x) = Đồ thị của p(x) Giả sử X có phân phối mũ với tham số λ. Hàm phân phối của X là Kỳ vọng của X là Phương sai của X là DX = và do đó độ lệch chuẩn của X là σx = Giả sử tuổi thọ (tính bằng năm) của một mạch điện tử trong máy tính là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng là 6, 25. P(X 6 5) = 1− e−5λ = 1− e− Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] và kí hiệu là X ∼ U[a,b], nếu hàm mật độ của nó cho bởi công thức p(x) = Hàm phân phối F (x) của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [a, b] được −∞ p(x)dx = nếu a 6 x 6 b Đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối của X Đồ thị của p(x) Xác suất để X rơi vào (α, β) là P(α < X < β) = p(x)dx = Như vậy xác suất để X rơi vào một khoảng (α, β) chỉ phụ thuộc vào độ dài khoảng đó Dễ thấy median của X là m(X) = Mode của phân phối đều là bất cứ điểm nào của [a, b]. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn [−1, 2]. phối và hàm mật độ của Y = X2. FY (x) = P(Y < x) = P(X2 < 0) = 0. FY (x) = P(− Từ đó hàm mật độ của Y là Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối χ2 (khi bình phương) với n bậc p(x) = , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Đại lượng ngẫu nhiên T được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, nếu hàm p(x) = C , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Hệ thống như thế được gọi là vectơ ngẫu nhiên. , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên. , Xn) được gọi là vectơ ngẫu nhiên n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, . , Xn được gọi là các thành phần của vectơ Khi điều tra chất lượng học tập của một học sinh, nếu ta quan tâm đồng thời đến điểm toán X và điểm văn Y thì ta phải đề cập tới vectơ ngẫu nhiên hai ngẫu nhiên (X, Y ) được gọi là vectơ ngẫu nhiên rời rạc nếu cả hai đại nhiên X và Y đều là đại lượng ngẫu nhiên rời ngẫu nhiên (X, Y ) được gọi là vectơ ngẫu nhiên liên tục nếu cả hai đại nhiên X và Y đều là đại lượng ngẫu nhiên liên ngẫu nhiên (X, Y ) được gọi là vectơ ngẫu nhiên hỗn hợp nếu một trong hai Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và Ký hiệu pij = P(X = xi, Y = yj). Khi đó bảng chữ nhật sau đây được gọi là bảng phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) 2. P(X = xi) = · · ·+ P(X = xi, Y = yn) + · · · = Như vậy, nếu biết bảng phân phối của vectơ (X, Y ) thì cũng biết được bảng phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên X và Y . 3. Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần X và Y độc lập thì khi biết bảng phân phối của chúng, có thể suy ra được bảng phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ). Tính chất này được suy ra ngay từ công thức tính kỳ vọng của đại lượng ngẫu Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên X: Số mặt ngửa trên các đồng tiền A và B. Hãy lập bảng phân phối của vectơ (X, Y ). Các kết quả của phép thử và giá trị tương ứng của X và Y được cho bởi bảng sau (N: A B C X Y P(X = 0, Y = 0) = , P(X = 0, Y = 1) = P(X = 0, Y = 2) = 0, P(X = 0, Y = 3) = 0 P(X = 1, Y = 0) = 0, P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1, Y = 2) = , P(X = 1, Y = 3) = 0 P(X = 2, Y = 0) = 0, P(X = 2, Y = 1) = 0, P(X = 2, Y = 2) = , P(X = 2, Y = 3) = Do đó, bảng phân phối xác suất của vectơ ( X, Y ) là Giả sử (X, Y ) là vectơ ngẫu nhiên hai đó hàm hai biến F (x, y) F (x, y) = P(X < x, Y < y) được gọi là hàm phân phối của (X, Y ). Hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) còn được gọi là hàm phân phối đồng thời của các đại lượng ngẫu nhiên X và Y . 1. F (x, y) là hàm không giảm theo từng đối số, tức là Trong đó FX(x), FY (y) là các hàm phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên X và Y (FX(x), FY (y) được gọi là hàm phân phối biên duyên của các đại lượng ngẫu nhiên X 4. P(a 6 X < b, c 6 Y < d) = F (b, d)− F (b, c)− F (a, d) + F (a, c). 5. Điều kiện cần và đủ để các đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập là Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm phân phối Tìm hàm phân phối FX(x) của X. Do đó X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ = 1. Giả sử (X, Y ) là vectơ ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F (x, y). Khi đó hàm hai biến p(x, y) > 0 thoả mãn đẳng thức p(x, gọi là hàm mật độ xác suất của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ). Hàm mật độ xác suất của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) còn được gọi là hàm mật độ đồng thời của các đại lượng ngẫu nhiên X và Y . −∞ p(x, y)dxdy = 1. p(x, y)dxdy = P(X < +∞, Y < +∞) = 1 −∞ p(x, y)dy; pY (y) = −∞ p(x, y)dy là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X. p(x, y)dx là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên Y . Như vậy, nếu biết hàm mật độ xác suất của (X, Y ) thì cũng biết hàm mật độ xác suất của X và Y . 3. Nếu X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì p(x, y) = pX(x)pY (y). p(x, y) = pX(x)pY (y) là hàm mật độ của (X, Y ). Đẳng thức trên cũng là điều kiện đủ để các đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập Như vậy, nếu X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì khi biết hàm mật độ xác suất của X và Y , ta cũng sẽ xác định được hàm mật độ xác suất của vectơ (X, Y ). 4. P(a 6 X < b, c 6 Y < d) = P(a < X < b, c < Y < d) = p(x, Y ) ∈ D) = p(x, (x+ y)p(x, vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ p(x, y) p(x, y)dxdy = C Giả sử (X, Y ) là vectơ ngẫu nhiên rời rạc gọi là bảng phân phối có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện Y = yj. Bảng phân phối có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện Y = yj cho biết phân phối xác suất của X trong điều kiện giả thiết rằng biến cố (Y = yj) đã xảy Tương tự, ta có thể định nghĩa bảng phân phối có điều kiện của đại lượng Y với điều kiện X = xi. Nếu biết bảng phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) thì có thể tìm được bảng phân phối có điều kiện của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần. P(X = xi, Y = yj) P(X = xi, Y = yj) P(X = xi) Vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) được cho bởi bảng phân phối Tìm bảng phân phối có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện = P(X = x1, Y = = ; p(x3/y1) = Từ đó có phân phối có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y1 Giả sử (X, Y ) là vectơ ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là p(x, y). ngẫu nhiên thành phần X và Y tương ứng có hàm mật độ là pX(x) và pY = p(x, y) và p(y/x) = p(x, y) tương ứng được gọi là hàm mật độ có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện đại lượng ngẫu nhiên Y lấy giá trị Y = y và hàm mật độ có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên Y với điều kiện đại lượng ngẫu nhiên X lấy giá trị X = x. Vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ p(x, y) = p(x/y) = p(y/x) = 2.4.6 Các số đặc trưng của vectơ ngẫu tồn tại) được gọi là Covarian (hay Moment tương quan) của Xi, Xj. Ma trận được gọi là ma trận Covarian của (X1, X2, . Giả sử (X, Y ) là vectơ ngẫu gọi là hệ số tương quan của các đại lượng ngẫu nhiên X và Y . Nếu ρ(X, Y ) = 0, thì ta nói X và Y không tương |ρ(X, Y )| = 1 khi và chỉ khi X và Y phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại các số iii) Trước hết ta thấy ngay rằng, nếu X, Y phụ thuộc tuyến tính, thì bằng cách tính trực tiếp ta có |ρ(X, Y )| = 1. Qua các tính chất trên, ta thấy ρ(X, Y ) biểu thị mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y . Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về đại lượng ngẫu nhiên, các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, một số phân phối xác suất quan trọng. - Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, đại lượng ngẫu - Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên. - Định nghĩa, các khái niệm liên quan, các tính chất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng (kì vọng, phương sai, mod, ...) của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc trong một số bài toán thực tế, cũng như đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc quan trọng. - Vận dụng thành thạo các kiến thức lý thuyết để tính xác suất của biến cố, kì vọng, của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục khi cho biết hàm - Tính các số đặc trưng, tính xác suất của các biến cố liên quan ứng với các đại nhiên có phân phối đặc biệt, cũng như đối với các vectơ ngẫu nhiên. X là số nữ trong nhóm. Hãy tìm bảng phân phối xác suất của X và tính EX, DX, Gọi X là số thẻ đỏ. Tìm bảng phân phối xác suất của X. Tìm bảng phân phối xác suất của Y . Gọi X là số phát trúng của A trừ đi số phát Tìm bảng phân phối xác suất của X và bảng phân phối xác suất của 4. Giả sử X ∼ B(2, 0, 4); Y ∼ B(2, 0, 7); X và Y độc lập. suất của X + Y . Chứng minh rằng X + Y không có phân phối nhị thức. 5. Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập. ). Viết bảng phân phối xác suất của X, Y . tìm bảng phân phối xác suất của X + Y . ). Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y . minh rằng X + Y không có phân phối nhị thức. Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong một ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân Gọi Y là số tiền thu được trong một ngày của trạm (nếu không có ai thuê thì số tiền thu được là −24 USD). Từ đó tính số tiền trung bình thu được của trạm trong một ngày. 8. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = Tìm hằng số c; modX và P(0, 4 < X < 0, 6). 9.a) Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [1, 2]. Tìm P(2 < X < 5) b) Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [−1, 3]. Tìm P(X2 > 2). Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = Tìm hằng số k; tính P{X > 2}, tìm median của X và xác định a để P{X < a} = 3 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = nếu −2 6 x 6 0 Tìm kỳ vọng và phương sai của X. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = Tìm hằng số k, kỳ vọng, phương sai và median của X. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = Tìm kỳ vọng và phương sai của Y = 2X2. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ p(x) = X. Tìm P(0, 2 < Y < 1, 5) và P(Y > 1) Cho hàm mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên X có dạng p(x) = b) Tính P(0 < X < 5). c) Tính phương sai của X. Cho đại lượng ngẫu nhiên X thoả mãn: P(X > x) = b) Tính kỳ vọng của X. Cho hàm mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên X có = b) Tính P(−3 < X < 2). c) Tính kỳ vọng của X. Biết rằng thời gian đi bộ của người đó là một đại lượng ngẫu lượng của một con bò là một đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kỳ Thời gian từ nhà đi đến trường của sinh viên Bình là một đại lượng ngẫu nhiên X Chiều cao của một loại cây là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ = 2. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ = 1 và Y = 2X2. Cho vectơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) có hàm mật độ là p(x, y) = b) Tìm các hàm mật độ của X và của Y . c) X và Y có độc lập hay ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) có hàm mật độ là p(x, y) = b) Tìm hàm mật độ của X và Y . Cho vectơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y ) có hàm mật độ p(x, y) = b) Tìm hàm phân phối của (X, Y ) c) X và Y có độc lập không. d) Tìm xác suất để điểm (X, Y ) rơi vào hình chữ nhật với các đỉnh là A(1, 1), B( Biết rằng hàm mật độ p(x, y) của (X, Y ) là p(x, y) = Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có các hàm phân phối tương ứng là F (x) và G(x). Tìm hàm phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên sau đây Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ với tham Tìm hàm phân phối và hàm mật độ của các đại lượng ngẫu nhiên sau đây Giả bài toán trên với giả thiết là X và Y có phân phối đều trên đoạn [0, 1]. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ. f(x) là hàm Chứng minh rằng hàm phân phối của một đại lượng ngẫu nhiên có không quá đếm Chứng minh rằng nếu hàm phân phối của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục trên