Bộ đề ôn thi vào trung học phổ thông môn toán học

Bộ đề ôn thi vào trung học phổ thông môn toán học

Thể loại: Đề thi Kiểm tra
Lượt xem: 35,169Lượt tải: 10Số trang: 54

Mô tả tài liệu

Tham khảo tài liệu 'bộ đề ôn thi vào trung học phổ thông môn toán học', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Tóm tắt nội dung

b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) (x>4) x ax b x ax b x bx a (**) → 2 4b a∆ = − §Ó PT cã nghiÖm th× 2 C = ; b). 3. Đẳng thức 4 2 28 16 4x x x− + = − xảy ra khi và chỉ khi : x ≥ 2 ; b). x ≤ –2 ; c). x ≥ –2 và x ≤ 2 ; d). x ≥ 2 hoặc x ≤ –2 4. Cho hai phương trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. 5. Điều kiện để phương trình 2 2( 3 4) 0x m m x m− + − + = có hai nghiệm đối nhau là : m < 0 ; b). m = –1 ; c). 6. Cho phương trình 2 4 0x x− − = có nghiệm x1 , x2. x y x y 1. Cho phương trình 4 2 2( 4 ) 7 1 0x m m x m− + + − = . a b c ab bc ca a b c+ + + ≥ + + + + + Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân trình trở thành 4 2 2( 4 ) 7 1 0X m m X m− + + − = (1) ⇒ phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = 1X± ; x3, 4 = 2X± ⇒ x = ± 1. 2b c bc+ ≥ ⇒ B, C, F thẳng hàng. C©u 1: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh ( )8 18 2 98 72 : 2− + lµ : C©u 2 : Gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh mx2 +2 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n A. 0m ≠ B. m < C. C©u 3 :Cho ABC� néi tiÕp ®−êng trßn (O) cã � �0 060 ; 45B C= = . C©u 4 : Mét h×nh nãn cã b¸n kÝnh ®−êng trßn ®¸y lµ 3cm, chiÒu cao lµ 4cm th× a) T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<1. C©u 7 : Cho ®−êng trßn t©m (O) ®−êng kÝnh AB. VÏ ®−êng trßn t©m (O') ®−êng kÝnh BC.Gäi I lµ trung ®iÓm VÏ d©y MN vu«ng gãc víi AC t¹i I, MC c¾t ®−êng trßn t©m O' t¹i b) Chøng minh tø gi¸c NIDC néi tiÕp? c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ID vµ ®−êng trßn t©m (O) víi ®−êng trßn = 1x x− + 0.25 =2 1x − 0.25 c) A<1 ⇒ 2 1x − <1 0.25 ⇒ 2 2x < 0.25 ⇒ 1x < ⇒x<1 0.25 Gäi thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (giê) ( §k x>0) Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: x+2 (giê) 2x + 2x + Theo bµi ra ta cã ph−¬ng tr×nh: 1 2x + GiaØ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc x1=4; x2=- a) §−êng kÝnh AB ⊥ MN (gt) ⇒ I lµ trung ®iÓm cña MN (§−êng IA=IC (gt) ⇒Tø gi¸c AMCN cã ®−¬ng chÐo AC vµ MN c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng vµ vu«ng gãc víi nhau nªn lµ h×nh thoi. b) � 090ANB = (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®−êng trßn t©m (O) ) Tõ (1) vµ (2) ⇒ N,B,D th¼ng hµng do ®ã � 090NDC = (3). Tõ (3) vµ (4) ⇒N,I,D,C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh NC vµ O' do ®ã ta cã OO'=OB + O'B ⇒ ®−êng trßn (O) vµ ®−êng trßn do ®ã ID ⊥ DO ⇒ ID lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O'). .b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x= 226 + c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3 Cho ph−¬ng tr×nh X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0) ®iÓm cña AE vµ nöa ®−êng trßn (O) . a. Chøng minh r»ng 4 ®iÓm 22 − b.Thay x= 226 + vµo A ta ®−îc A = c. A = 3 <=> x2-3x-2 = 0=> x = C©u 2 : a)§Æt x - y= a ta ®−îc pt: a2+3a=4 => a=-1; a=-4 Gi¶i hÖ (1) ta ®−îc x=3, y=2 Gi¶i hÖ (2) ta ®−îc x=0, y=4 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4 b) Ta cã x3- 4x2- 2x- 15 = VËy bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x-5>0 =>x>5 C©u 3: Ph−¬ng tr×nh: ( • XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 • XÐt 2m-1≠0=> m≠ 1/2 khi ®ã ta cã ∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) víi m≠ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0 hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh BK. b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ 2: Cho ph−¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m. b.T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m[n Bµi 3: Cho ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng a,Ph−¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt t1 vµ minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥ 4 Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O . a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. b, Gäi P vµ Q lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®−êng th¼ng AB c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 5: Cho hai sè d−¬ng x; y tho¶ m[n: x + y ≤ 1 VËy víi x= { }9;4;0 th× P cã gi¸ trÞ 2: §Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) 50)3(2 33 =+−− mm V× x1 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ax V× x1> 0 => c. V× x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: v× x2> 0 nªn c. VËy nÕu ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d−¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d−¬ng nªn t1+ x1 = + x1 ≥2 t2 + x2 = + x2 ≥ 2 Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 a. Gi¶ sö ®[ t×m ®−îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . VËy AD lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn t©m O b) V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn ∠ APB = ∠ ADB ó D lµ ®Çu ®−êng kÝnh kÎ tõ A cña ®−êng trßn t©m O T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . T×m x,y nguyªn tháa m[n ph−¬ng tr×nh P = 2. Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®−êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. Bµi 4: Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iÓm thuéc ®−êng trßn Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O), gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC . H[y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x y y y y .x xy y= + − Ta cã: 1 + 1y ≥ ⇒ 1 1x − ≤ 0 4x⇔ ≤ ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m[n §−êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . tr×nh ®−êng th¼ng (d) lµ : y = mx + m – 2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: - x2 = mx + m – 2 ⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*) V× ph−¬ng tr×nh (*) cã ( ) mmmm ∀>+−=+−=∆ 04284 22 nªn ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ⇔ ph−¬ng tr×nh : x2 + mx + m – 2 = 0 cã x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y y z z x x y x y Thay vµo (1) => x = y = z = 3 . Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m[n hÖ ph−¬ng tr×nh . nhÊt x = y = z = 3. Ta cã: AB lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (O) M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC Ta cã : x8 – y8 = (x + + y4).= + (x + y) (y + z) (z + x).A = Bµi 1: 1) Cho ®−êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4. ®−êng th¼ng d qua ®−êng th¼ng y = x lµ: x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y = x - 2 ; D.y = - 2x - 4 2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x + y Bµi 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7 Ph©n tÝch thµnh thõa sè ®−îc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam gi¸c nhän x©y, B, C lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm cè ®Þnh trªn tia Ax, Ay sao cho AB < AC, ®iÓm M di ®éng trong gãc xAy sao cho X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4: Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña c) Chøng minh r»ng ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè Max A2 = 2 <=> x = y = , max A = 2 <=> x = y = Bµi3 C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c) Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c) Cã 2 tr−êng hîp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7 Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11) Tr−êng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2 Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5) Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho: Ta cã D lµ ®iÓm cè ®Þnh XÐt ba ®iÓm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®æi) M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®−êng trßn (A; b) KÎ MK // AC ta cã : ∆INC = ∆IMK (g.c.g) VËy ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh . Cho ba sè x, y, z tho[ m[n ®ång thêi : 2 2 22 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2007 2007 2007A x y z= + + . Cho biÓu thøc : 2 25 4 2014M x x y xy y= − + + − + . Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? x y x y x x y y Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB b¸n kÝnh R. kú trªn ®−êng trßn (O) c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn l−ît t¹i C vµ D. b.T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c COD lµ nhá nhÊt . Bµi 5.Cho a, b lµ c¸c sè thùc 6).Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD. x y z x Céng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc ta cã : ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + = 1 1 1 0x y z⇒ + + + + + = 1x y z⇒ = = = 2007 2007 20072007 2007 2007 1 1 1 3A x y z⇒ = + + = − + − + − = − VËy : A = -3. Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã : ( ) ( ) ( )2 24 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + − − + + 2 1 2 1 2007M x y x y= − + − + − − + M x y y 1 0y − ≥ vµ ( ) ( ) x y 2007M⇒ ≥ min 2007 2; 1M x y⇒ = ⇔ = = ⇒ u ; v lµ nghiÖm cña ph−¬ng Gi¶i hai hÖ trªn ta ®−îc : NghiÖm cña hÖ lµ : C¸c tia OC vµ OD lµ ph©n gi¸c cña hai gãc AOM vµ MOB nªn OC ⊥ OD DÊu = x¶y ra ⇔ MH1 = OM ⇔ M ≡O ⇒ M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung �AB Bµi 5 (1,5 ®iÓm) Ta cã : Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) C©u 1: Cho hµm sè f(x) = 442 +− xx b) T×m x ®Ó f(x) = 10 víi x > 0 vµ x ≠ 1 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 C©u 4: Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB. C©u 5: Cho ph−¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m[n: 3x1 - 4x2 = 11 C©u 1a) f(x) = 2)2(44 22 −=−=+− xxxx x -2 x 1 Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®−êng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã C©u 5 §Ó ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× ∆ > 0 x x ta ®−îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2) §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph−¬ng tr×nh ®[ cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m[n: x1 + x2 = 11 víi x ≥ 0 vµ x ≠ 1. C©u 2: Cho ph−¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc thâa m[n : a b c a b c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña Q = 6 a + 7 b + 2006 c. TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ D X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCK lµ h×nh b×nh hµnh. C©u 1: §iÒu kiÖn: x ≥ 0 vµ x ≠ 1. 1x − Víi x ≥ 0 vµ x ≠ 1 .Ta cã: P < ⇔ x - 2 x + 1 > 0 ⇔ ( x - 1)2 > 0. ( §óng v× x ≥ 0 vµ x ≠ 1) Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ∆ ’ ≥ 0. Víi m ≤ 2 th× (1) cã 2 nghiÖm. m − m − x y x y Tõ (2) cã : x + y = 2xy. * NÕu xy = 1 th× x+ y = 2. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: X2 – 2X + 1 = 0 ⇔ X = 1 ⇒ x = y = 1. th× x+ y = -1. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: = 0 ⇔ X = ⇒ x = VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = Theo c©u b, tø gi¸c ABCK lµ h×nh tia Cy sao cho � �BCy BAC= .Khi ®ã, D lµ giao ®iÓm cña �AB vµ Cy. C©u 1: a) X¸c ®Þnh x ∈R ®Ó biÓu thøc :A = b. Cho biÓu thøc: P = BiÕt x.y.z = 4 , tÝnh C©u 2:Cho c¸c ®iÓm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a. Chøng minh 3 ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; 3 ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. C©u 4 Cho ®−êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm A sao cho OA = R 2 . Mét gãc ∠xOy = 450 c¾t ®o¹n th¼ng AB vµ AC lÇn l−ît t¹i D a.DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ( O ). A lµ sè tù nhiªn ⇔ -2x lµ sè tù nhiªn ⇔ x = b.§iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x,y,z ≥ 0, kÕt hpä víi x.y.z = 4 ta ®−îc x, y, z > 0 vµ Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø 2 víi x ; thay 2 ë mÉu cña h¹ng tö thø 3 bëi xyz C©u 2: a.§−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b §iÓm A(-2;0) vµ B(0;4) thuéc ®−êng th¼ng AB nªn ⇒ b = 4; a = 2 VËy ®−êng th¼ng AB lµ y = 2x + 4. §iÓm C(1;1) cã to¹ ®é kh«ng tho¶ m[n y = 2x + 4 nªn C kh«ng thuéc ®−êng th¼ng AB ⇒ A, B, C kh«ng th¼ng D(-3;2) cã to¹ ®é tho¶ m[n y = 2x + 4 nªn ®iÓm D thuéc ®−êng th¼ng AB ⇒ b.Ta cã : C©u 3: §kx® x ≥1, ®Æt vxux =−=− 3 2;1 ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: ⇒ x = 10. Do ®ã DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). C©u 1: Cho hµm sè f(x) = 442 +− xx b) T×m x ®Ó f(x) = 10 víi x > 0 vµ x ≠ 1 2) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 C©u 4: Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB. C©u 5: Cho ph−¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m[n: 3x1 - 4x2 = 11 a) f(x) = 2)2(44 22 −=−=+− xxxx -2x x 1 b) nªn theo ®Þnh lý Ta let ¸p dông cho tam gi¸c CPB ta cã Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trug ®iÓm cña b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®−êng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã §Ó ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× ∆ > 0 x x ta ®−îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2) §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph−¬ng tr×nh ®[ 1) Chøng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dông : cho x+ 4y = 5 . T×m GTNN cña biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2 C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn (O), I lµ trung ®iÓm cña BC, M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n CI ( M kh¸c C vµ I ). ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AIM t¹i M c¾t BD vµ DC t¹i P vµ Q. 1) Ta cã : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) <=> DÊu = x[y ra khi ad=bc. 52 = (x+4y)2 = (x. + 4y) ≤ (x2 + y2) )161( + => x2 + y2 ≥ => 4x2 + 4y2 ≥ dÊu = x[y ra khi x= §Ó P x¸c ®Þnh th× : x2-4x+3 ≥ 0 vµ 1-x >0 MÆt kh¸c : x2-4x+3 = V× x < 1 nªn ta cã : (x-1) < 0 vµ (x-3) < 0 tõ ®ã suy ra tÝch cña > 0 VËy víi x < 1 th× biÓu thøc cã x < 1 Ta cã : = x b. Gäi 21 , xx lµ hai nghiÖm cña pt. C©u 4 Cho ®−êng trßn t©m O vµ d©y AB. M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn, Gäi E vµ F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn Qua M kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi EF c¾t d©y AB t¹i D. 1. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MD lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh khi M thay ®æi B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã: - Chøng minh MD lµ ®−êng kÝnh cña (o) Gäi E', F' lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña D trªn MA vµ MB. a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D b) TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña D a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1) víi m = -1 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho[ m[n 21 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC ®−êng ph©n gi¸c AI, biÕt AB = c, AC = b, C©u 4: Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm N di ®éng trªn mét nöa ®−êng b) Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c NAB. c) Chøng minh ®−êng th¼ng MP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 vµ x + y + z = -1 C©u 1: a) - §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ C©u 2: a) m = -1 ph−¬ng tr×nh (1) 0920 b) §Ó ph−¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th× KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*)vµ (**) ta ®−îc m = 0 vµ 194 −−=m c) Trªn tia ®èi cña QB lÊy ®iÓm F sao cho QF = QB, F cè ®Þnh. xx x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh Bµi 2 : Trªn cïng mét mÆt ph¼ng täa ®é cho hai ®iÓm A(5; 2) vµ B(3; -4) b) X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn trôc hoµnh ®Ó tam gi¸c MAB c©n t¹i M Bµi 3 : T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph−¬ng tr×nh Èn x sau: x2 - m2x + m + 1 = 0 Ph©n gi¸c AD (D ∈ BC) vÏ ®−êng trßn t©m O qua A vµ D b) C¸c tam gi¸c AED vµ ADC; µD vµ ABD lµ c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng. Bµi 5 : Cho c¸c sè d−¬ng x, y tháa m[n ®iÒu kiÖn x2 + y2 ≥ x3 + y4. a) §iÒu kiÖn x tháa m[n ⇔ x > 1 vµ x ≠ 2 Víi 1 < x < 2 A = Víi x > 2 A = 1x − Víi 1 < x < 2 th× A = Víi x > 2 th× A = 1x − a) A vµ B cã hoµnh ®é vµ tung ®é ®Òu kh¸c nhau nªn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB cã A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = 2 Gi¶i hÖ ta cã a = 3; b = -13 VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ y = 3x - 13 b) Gi¶ sö M (x, 0) ∈ xx’ ta cã MA = 2 2( 5) (0 2)x − + − MB = 2 2( 3) (0 4)x − + + ØMAB c©n ⇒ MA = MB ⇔ 2 2( 5) 4 ( 3) 16x x− + = − + ⇔ (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16 ⇔ x = 1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi Ø = m4 - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph−¬ng Ta l¹i cã: m = 0; 1 th× Ø < 0 lo¹i VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. b) AD lµ ph©n gi¸c gãc BAC nªn � �DE DF= Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Ta cã (y2 - y) + 2 ≥ 0 ⇒ 2y3 ≤ y4 + y2 ⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 ≤ x2 + y3 do ®ã x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ≥ 0 ⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ 0 ⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ 0 ⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x2 + y2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ 0. x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 ≥ 0 ⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ 2 + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x + y ≤ 2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: b/ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ 2: X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph−¬ng tr×nh x2- (m+5)x- m + 6 = 0 Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho[ m[n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau: b/ C©u 3 T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh C©u 4: T×m max vµ min cña biÓu thøc: x2+3x+1 x2+1 C©u 5: Tõ mét ®Ønh A cña h×nh vu«ng ABCD kÎ hai tia t¹o víi nhau mét gãc 450. a/ Chøng minh r»ng 5 ®iÓm E, P, Q, F vµ C cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. c/ KÎ trung trùc cña c¹nh CD c¾t AE t¹i M tÝnh sè ®o gãc MAB biÕt CPD=CM C©u 1: a/ BiÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠2 vµ x>1 b/ §Ó A nguyªn th× x- 1 lµ −íc d−¬ng cña 1 vµ 2 vËy víi x = 5 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn b»ng 1 C©u 2: Ta cã ∆x = = ®Ó ph−¬ng tr×nhcã hai a/ Gi¶ sö x2>x1 ta cã hÖ x2-x1=1 b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13 x1+x2 = m+5 gi¶i hÖ ta ®−îc m=0 vµ m= 1 Tho¶ m[n (*) Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó hÖ v« sè 4: Hµm sè x¸c ®Þnh víi ∀x(v× x2+1≠0) x2+3x+1 x2+1 =0 cã nghiÖm *y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∠ A1 vµ ∠ B1 cïng nh×n ®o¹n QE d−íi mét gãc 45 chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠ FBE = 1v ⇒ Q, P, C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kinh EF. tõ (1) vµ (2) ⇒ AQP ~ AEF (c.g.c) mµ ∠ MPD lµ gãc ngoµi cña ∆ABM ta cã ∠ APB=450 vËy ∠ MAB=600- 450 =150 Bµi 1: Cho biÓu thøc M = a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M b. T×m x ®Ó M = 5 c. T×m x ∈ Z ®Ó M ∈ Z. bµi 2: a) T×m x, y nguyªn d−¬ng tho[ m[n ph−¬ng tr×nh 3x2 +10 xy + 8y b) T×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3 Cho c¸c sè x, y, z d−¬ng tho[ m[n b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (víi x 0≠ ) a. Chøng minh 5 ®iÓm E; P; Q; F; C cïng n»m trªn mét ®−êng trßn KÎ ®−êng trung trùc cña CD c¾t AE t¹i M. Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho[ m[n: 0111 =++ BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = c. M = Do M z∈ nªn 3−x lµ íc cña 4 ⇒ 3−x nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 <--> 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 <--> (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 <--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyªn d−¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d−¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 3≥ L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tæng 4x + 6y lµ sè ch¼n VËy c¸c sè x, y nguyªn d−¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) b. ta cã /A/ = /-A/ AA∀≥ mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0≤ (3) b. Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã <-->(a2y + b2x)(x + y) ( ) xyba 2+≥ ⇔ a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy ≥ a2xy + 2abxy + b2xy ⇔ (ay - bx)2 ≥ 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0 x y 2 16x y z x y z 2 16x y z x y z x y z x y z x y z B x V× (x - 2006)2 ≥ 0 víi mäi x L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) Bµi 5 §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) à x = -(y + z) à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz à -( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3 nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3 b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. y = x-2 (d1) y = 2x – 4 (d2) y = mx + (m+2) (d3) a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m. b. T×m m ®Ó ba ®−êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy . Bµi 3: Cho ph−¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) a. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x 2 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Bµi 4: Cho ®−êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. ®−êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE. b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F Bµi 5: Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 21 < = x - Víi x <0: - Víi 0<x ≤ 2: - Víi x>2 : b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn: a. (d1) : y = mx + (m +2) <=> m (x+1)+ (2-y) = 0 b. Gäi M lµ giao ®iÓm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiÖm cña hÖ NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3) Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= - <=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m a. P = x1 2 + x1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 3 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m[n x + y = 1 Bµi 4: (3®) Cho nöa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. Gäi N vµ P lÇn l−ît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB. b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn trßn t©m Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®−êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d) a) T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. b) T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi. lËp luËn t×m ®−îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0 Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hÖ ®óng: 1® T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ®óng T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m[n x + y = 1 vµ KL VÏ h×nh vµ C/m ®−îc gãc NDP = 900 KÎ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®−îc gãc EJF = 450 T×m ®−îc ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt: