Các toán tử trong cơ học lượng từ

Các toán tử trong cơ học lượng từ

Thể loại: Trung học cơ sở
Lượt xem: 133,982Lượt tải: 8Số trang: 12

Mô tả tài liệu

Hóa học lượng từ được phát triển từ cơ lượng tử. Trong cơ học lượng tử, có thể nói, nhìn chỗ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tính vật lý được đặc trưng bởi một toán tử

Tóm tắt nội dung

Các toán tử trong cơ học lượng tử Lý Lê Ngày 20 tháng 7 năm 2009 Tóm tắt nội dung Hóa học lượng tử được phát triển từ cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử, có thể nói, nhìn chổ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy, hiểu rõ khái niệm toán tử cũng như những tính chất của toán tử là một yêu cầu cơ bản nhất đối người học lượng tử. 1 Các khái niệm 1.1 Toán tử Chúng ta bắt đầu bằng việc viết lại phương trình không phụ thuộc thời gian cho hệ một hạt trong không gian một chiều − V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1) hay [ − V = Eψ(x) (2) Biểu thức trong dấu móc vuông [ − V gọi là toán Nó tác dụng lên hàm ψ(x) cho ta hàm vậy, toán tử là một qui luật mà nhờ đó từ một hàm số cho trước ta có thể tìm được một hàm số = g(x) đó,  được gọi là toán tử. Hai hàm số f(x) và g(x) không nhất khác nhau, chúng có thể giống nhau. Ví dụ: Gọi D̂ là toán tử đạo hàm bậc nhất theo x D̂ D̂f(x) = f f(x) = x2 + 3ex, thì ta = f ′(x) = 2x+ tự, nếu 3̂ là toán tử nhân một hàm số với 3, thì ta = 3(x2 + 3ex) = 3x2 + 9ex 1.2 Tổng của hai toán tử Tổng của hai toán tử  và B̂ được xác định như sau (Â+ B̂)f(x) = Âf(x) + B̂f(x) (4) Ví dụ: Toán tử Ĉ được xác định bởi Ĉ = Ĉf(x) nếu f(x) = a sin(bx) = xa sin(bx) sin(bx)] = ax sin(bx) + ab Tích của hai toán tử Tích của hai toán tử  và B̂ được xác định như = (5) Ví dụ: Cho Ĉ = x d dx . Tìm Ĉf(x) nếu f(x) = (x2 + 3ex). Ta + 3ex) = + 3ex)] = x(2x+ 3ex) = 2x2 + 3xex thường, ÂB̂ 6= B̂Â. Ví dụ, xét hai toán tử D̂ = d dx và x̂ = x. = D̂[xf(x)] = f(x) + xf ′(x) khi = = xf ′(x) ta nói hai toán tử bằng nhau,  = B̂, nếu Âf(x) = B̂f(x) với mọi hàm f(x). Ví dụ, từ phương trình (7), ta = f(x) + = (1̂ + x̂D̂)f(x) (9) Như vậy D̂x̂ = (1̂ + x̂D̂) = (1 + x̂D̂) tử 1̂ (nhân với 1) được gọi là toán tử đơn vị. Chúng ta thường không ghi dấu mũ lên các toán tử là hằng Toán tử tuyến tử  được gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thỏa các điều kiện + g(x)] = Âf(x) + Âg(x) = cÂf(x) đó f và g là những hàm bất kì, còn c là hằng số. Ví dụ, toán tử đạo hàm là toán tử tuyến tính nhưng toán tử căn bậc hai thì không tuyến vậy, ta + g(x)] = D̂f(x) + D̂f(x) = f ′(x) + = cD̂f(x) = cf khi đó √ f(x) + g(x) Â, B̂ và Ĉ là những toán tử tuyến tính, thì (Â+ B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂Ĉ (13) Để chứng minh (13), ta phải chứng minh ( + B̂)Ĉ và ÂĈ + B̂Ĉ cho cùng một kết quả khi được áp dụng lên một hàm f(x) tùy ý. Nghĩa là [(Â+ = (ÂĈ + xét vế = (Â+ = (Â+ B̂)g(x) = Âg(x) + theo, ta xét vế = = = = (ÂĈ + B̂Ĉ)f(x) = Âg(x) + tự, ta có Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ (14) Ví dụ: Tính (D̂ + 1 (D̂ + x̂)2 = (D̂ + x̂)(D̂ + x̂) = D̂(D̂ + x̂) + x̂(D̂ + x̂) = D̂D̂ + D̂x̂+ x̂D̂ + x̂x̂ = D̂2 + x̂D̂ + 1 + x̂D̂ + x2 = D̂2 + 2xD̂ + x2 + 2 (D̂ + x̂)2f = (D̂ + x̂)[(D̂ + x̂)f = (D̂ + x̂)(f ′ + xf) = D̂(f ′ + xf) + x̂(f ′ + xf) = D̂f ′ + D̂(xf) + xf ′ + x2f = D̂2f + xD̂f + fD̂x+ xf ′ + x2f = D̂2f + xD̂f + f + xD̂f + x2f = (D̂2 + 2x̂D̂ + x2 + 1)f ⇒ (D̂ + x̂)2 = D̂2 + 2x̂D̂ + x2 + 1 2 Tính chất của toán tử 2.1 Phép nhân các toán tử Phép nhân các toán tử tuân theo luật kết = (ÂB̂)Ĉ (15) Ví dụ: Đặt  = D̂; B̂ = x̂; Ĉ = 3̂, ta có ÂB̂f = D̂x̂f = (1 + = (1 + x̂D̂)3f = 3f + 3xf ′ = (3 + = 3 + 3xD̂ Mặt khác, ta = 3x̂f = = D̂(3xf) = 3f + 3xf ′ = (3 + = 3 + 3xD̂ = phù hợp với Các toán tử giao hoán Hai toán tử  và B̂ được gọi là giao hoán (commute) với nhau nếu ÂB̂ = B̂ hay ÂB̂ − B̂ = 0 Hiệu ÂB̂ − B̂ được kí hiệu là [Â, B̂] và được gọi là phép giao Nếu  và B̂ không giao hoán với nhau thì ÂB̂ = −B̂Â. Thật vậy, ta có [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ = −(B̂Â− ÂB̂) = −[B̂, Â] dụ 1: Tính [3̂, D̂]. Ta có [3̂, D̂]f = 3̂D̂f − D̂3̂f = 3D̂f − 3D̂f = 0 Như vậy, 3̂ và D̂ là hai toán tử giao hoán. Ví dụ 2: Tính [D̂, x̂2]; [x̂2, D̂] [D̂, x̂2]f = D̂x̂2f − x̂2D̂f = 2xf + x2D̂f − x2D̂f = 2xf ⇒ [D̂, x̂2] = 2x [x̂2, D̂]f = x̂2D̂f − D̂x̂2f = x2D̂f − 2xf − x2D̂f = −2xf ⇒ [x̂2, D̂] = −2x Như vậy, x̂2 và D̂ không giao hoán với nhau. Ta thấy [D̂, x̂2] = −[x̂2, D̂], phù hợp với Â, B̂ là những toán tử tuyến tính và k là hằng số, ta có [Â, kB̂] = [kÂ, B̂] = k[Â, B̂] vậy [Â, kB̂] = Â(kB̂)− kB̂ = kÂB̂ − kB̂ (18) Do đó [Â, kB̂] = kÂB̂ − kB̂ = k(ÂB̂ − B̂Â) = k[Â, B̂] tự [kÂ, B̂] = kÂB̂ − B̂(kÂ) = kÂB̂ − kB̂ = k(ÂB̂ − B̂Â) = k[Â, B̂] (20) Từ (19) và (20), ta có [Â, kB̂] = [kÂ, B̂] = k[Â, B̂] (21) 2.3 Một số phép giao hoán quan Công thức 1: [Â, B̂Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ] B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ] = (ÂB̂ − B̂Â)Ĉ + B̂(ÂĈ − ĈÂ) = ÂB̂Ĉ − B̂ÂĈ + B̂ÂĈ − B̂Ĉ = ÂB̂Ĉ − B̂Ĉ = Â(B̂Ĉ)− [Â, Công thức Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ minh: Ta có thể chứng minh tương tự như trên hoặc theo cách sau. Ta Ĉ] = (ÂB̂)Ĉ − (ÂB̂)Ĉ − Ĉ(ÂB̂) + (ÂĈ)B̂ − (ÂB̂)Ĉ − Â(ĈB̂) + (ÂĈ)B̂ − Â(B̂Ĉ)− Â(ĈB̂) + (ÂĈ)B̂ − Â(B̂Ĉ − ĈB̂) + (ÂĈ − ĈÂ)B̂ = Â[B̂, Ĉ] + [Â, trường hợp, B̂ =  = Ĉ, ta có [Â2, Â] = [ÂÂ, Â] = Â[Â, Â] + [Â, Â] = Â× 0 + 0× Â = 0 tự [Â3, Â] = [ÂÂ2, Â] = Â[Â2, Â] + [Â, Â]Â2 = Â2 × 0 + 0× Â = 0 Công thức 3: Từ (24) và (25), ta có [Ân, Â] = 0 tự [Â, Ân] = 0 Công thức 4: [Â, B̂ + Ĉ] = [Â, B̂] + [Â, Ĉ] B̂ + Ĉ] = Â(B̂ + Ĉ)− (B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ − B̂Â− Ĉ = (ÂB̂ − B̂Â) + (ÂĈ − ĈÂ) = [Â, B̂] + [Â, tự, ta có [Â+ B̂, Ĉ] = [Â, Ĉ] + [B̂, Ĉ] Đặc hàm và đặc trị Giả sử tác dụng lên hàm f(x) bởi một toán tử Â, ta thu được kết quả là chính hàm f(x) đó nhân với một hằng số k. Khi đó, ta nói rằng hàm f(x) là đặc hàm của toán tử Â, với đặc trị là k. Phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa toán tử Â, đặc hàm f(x) và đặc trị k được gọi là phương trình đặc trị = kf(x) (30) Ví dụ 1 D̂e2x = 2e2x ta nói e2x là đặc hàm của toán tử D̂ với đặc trị là 2. Phương trình đặc = 2e2x Ví dụ 2 D̂2 sin(ax) = D̂[D̂ sin(ax)] = D̂[a cos(ax)] = −a2 sin(ax) là đặc hàm của toán tử D̂2 với đặc trị là −a2. Ta có, đặc trị D̂2 sin(ax) = −a2 vậy, phương trình (1) cho hệ một hạt trong không gian một chiều cũng là một phương trình đặc trị. Sau đây, chúng ta thử tìm tất cả những đặc hàm và đặc trị cho toán tử đạo hàm D̂. Từ phương trình (30), ta kf(x) trình (31) tương đương kdx (32) Lấy tích phân (32) ta = kx+ = = cekx (33) Tất cả những hàm thỏa (33) là đặc hàm của D̂, với các đặc trị là k. Và nếu f(x) và đặc hàm của D̂, thì cf(x) cũng là đặc hàm của D̂. Điều đó đối với những đặc hàm của mọi toán tử tuyến tính. Thật vậy, nếu f(x) là đặc hàm của Â, với đặc trị k, nghĩa = kf(x) và  là toán tử tuyến tính, ta = cÂf(x) = ckf(x) = k[cf(x)] (34) Như = k[cf(x)] (35) Với mỗi giá trị k trong (31), chúng ta có một đặc hàm; những đặc hàm với cùng giá trị k nhưng giá trị c khác nhau thì không độc lập tuyến nhau, chúng phụ thuộc lẫn nhau. 4 Mối liên hệ giữa toán tử và cơ học lượng tử Tiếp theo, ta xét mối liên hệ giữa toán tử và cơ học lượng tử. Chúng ta so sánh phương trình cho hệ một hạt trong không gian một chiều [− V (x)]ψ(x) = phương trình đặc = kf(x) Ta thấy, rõ ràng các giá trị năng lượng E là các đặc trị; các đặc hàm là những hàm sóng ψ(x); toán tử của những đặc hàm và đặc trị này là Ĥ = − V (x) (36) và được gọi là toán tử hay toán tử năng lượng của hệ. Năng lượng của hệ bằng tổng động năng và thế năng. Trong (36) thì V (x) là thế năng, nên − toán tử mô tả động năng của hệ. Theo cơ học cổ điển, động năng của một hạt theo phương x được xác định bởi Ex f1, f2 và f3 được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình = 0 chỉ xảy ra khi các hằng số c1 = c2 = c3 = 0. Ví dụ, các hàm f1 = 3x, f2 = 5x 2−x, f3 = x2 là những hàm phụ thuộc tuyến tính, vì f1 + 3f2 − 15f3 = 0; trong khi đó, các hàm g1 = 1, g2 = 2x, g3 = x 2 là những hàm độc lập tuyến tính vì ta không tìm được biểu thức liên hện giữa khác, ta có mối liên hệ giữa khối lượng m, vận tốc vx và động lượng px như sau px = mvx ⇒ vx đó, ta có Ex vậy, theo cơ học cổ điển năng lượng của hệ được tính như sau H V (x) trình (39) được gọi là hàm cho hạt có khối lượng m di chuyển trong không gian một chiều và phụ thuộc vào thế năng V (x). So sánh phương trình không phụ thuộc thời gian[ − V = phương trình (39), ta thấy hàm (39) trong cơ học cổ điển được thay thế bởi toán tử trong cơ học lượng V (x)↔ V (x) cơ học cổ điển cũng được thay thế bởi toán tử trong cơ học lượng tử T̂ = − liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong cơ học cổ điển và cơ học lượng tử như thế này là rất phổ biến. Do đó, trong cơ học lượng tử có một định đề quan trọng như sau: Mỗi thuộc tính vật lí như năng lượng, động lượng, tọa độ, mô- men góc . . . sẽ có một toán tử tương ứng. Các thuộc tính như tọa độ x, y, z và thế năng V trong cơ học lượng tử và cơ học cổ điển có dạng giống nhau. Những thuộc tính khác thì không Ví dụ, các thành phần động lượng px được thay bằng các toán tử p̂x −i~ −i −i Những thuộc tính khác được xác định bằng những toán tử được ghi trong bảng 1.1 1.1: Những toán tử thường được sử dụng trong cơ học lượng tử Thuộc tính Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử Tọa độ x, y, z, r x, y, z, r Thế năng V (x), V (y), V (z) V (x), V (y), V (z) Động lượng x px p̂x = py p̂y = pz p̂z = = = = góc Lz L̂z = y toán tử khác có thể được xây dựng từ những toán tử đã cho trên. Ví dụ, toán tử p̂2x được xây dựng từ p̂x như sau p̂2x = p̂xp̂x −h2 tự, ta có p̂2y = = Toán tử và những thuộc tính vật lí Xét sự chuyển động của hạt trong hộp một chiều được mô tả bởi hàm sóng ψn (n = 1, 2, 3, . . .) Ta thấy ψn là đặc hàm của toán tử năng lượng Ĥ với đặc trị là E vậy, đối với bài toán hạt trong hộp thì thế năng V (x) = 0, nên ta có Ĥ = T̂x + V̂ (x) = đó − vậy, nếu thực hiện phép đo năng lượng của một hạt trong hộp ta sẽ thu được kết quả là đặc trị năng lượng E của toán tử Ĥ. Một cách tổng quát, nếu B̂ là toán tử mô tả một thuộc tính vật lí B thì mỗi phép đo thuộc tính B cho ra một đặc trị βi của toán tử B̂. Đây cũng là một định đề của cơ học lượng tử. Ví dụ, nếu ψi là các đặc hàm của Ĥ, thì ta có Ĥψi = Eiψi là mỗi phép đo thuộc tính vật lí được mô ta bởi toán tử năng lượng Ĥ sẽ cho ta một giá trị Ei. Nếu ψi là hàm chỉ phụ thuộc tọa độ, không phụ thuộc thời gian thì (44) là dạng tổng quát của phương trình phụ thuộc thời theo, chúng ta xét hàm trạng thái phụ thuộc thời gian Ψ = Ψ(x, t) (45) Nếu trạng thái của một hệ được mô tả bởi hàm sóng Ψ, thì hàm sóng Ψ đó sẽ chứa tất cả những thông tin mà chúng ta cần biết về hệ đó. Vậy Ψ sẽ cung cấp cho chúng ta những thông tin gì về một thuộc tính B? Bây ta giả định rằng nếu Ψ là đặc hàm của B̂ với đặc trị βi, khi đó một phép đo thuộc tính B sẽ cho ta giá trị βi. Chẳng hạn, chúng ta xét năng lượng. Giả sử hệ ở trạng thái tĩnh với hàm trạng t) = (46) ta có ĤΨ(x, t) = = (47) áp dụng Ĥψ(x) = Eψ(x), ta t) = = = EΨ(x, = EΨ (48) Do đó, ở trạng thái tĩnh, Ψ(x, t) là một đặc hàm của Ĥ, chúng ta chắc chắn tìm được giá trị E khi thực hiện phép đo năng lượng. Phương trình (48) là một cách viết khác của phương trình phụ thuộc thời toán tử trong cơ học lượng tử có hai tính chất đặc trưng quan trọng là tuyến tính và Hermitian . Tính chất tuyến tính của chúng liên quan đến nguyên lí chồng chất. Tính chất Hermitian liên quan đến kết quả thực của phép đo một thuộc tính vật lí. Chúng ta sẽ khảo sát kĩ hơn tính chất này trong những phần tập 1. Cho D̂ hàm f(x) được xác định bởi f(x) = sinx+ eix Hãy tính (D̂2 + Chứng B̂, Ĉ + D̂] = [Â, Ĉ] + [Â, D̂] + [B̂, Ĉ] + [B̂, D̂] Từ đó, x] 3. Cho biết x̂ = x p̂x = p̂x] = i~ ; [x̂, p̂2x] = Tìm những hàm g(x) là đặc hàm của p̂x với đặc trị = tỏ rằng hàm sóng của hạt trong hộp một chiều không phải là đặc hàm của p̂x. 5. Tìm những hàm f(x) là đặc hàm của p̂2x với đặc trị α. Chứng tỏ rằng hàm sóng của hạt trong hộp một chiều là đặc hàm của