Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Thể loại: Toán học
Lượt xem: 55,424Lượt tải: 2Số trang: 27

Mô tả tài liệu

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Dạng toàn phương trình bày những nội dung chính: giá trị riêng - vectơ riêng; chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao; dạng toàn phương, đưa dạng toán phương về dạng chính tắc; dạng toán phương xác định dấu.

Tóm tắt nội dung

Chương 4: DẠNG TOÀN NGUYỄN Giáo dục cơ Đại học Ngân hàng 28 tháng 10 năm Giá trị riêng - vectơ riêng Các định tìm vectơ riêng, giá trị riêng 2 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Các bước chéo hóa ma trận hóa trực giao ma trận đối xứng 3 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn dạng toàn phương về dạng chính pháp pháp Jacobi 4 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý toàn phương xác định dấu Định lý trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa - Cho ma trận A ∈ Mn(R). Số thực λ được gọi là trị riêng của A nếu tồn 0 < x ∈ Rn nếu A[x] = λ[x]. - Vector x , 0 thỏa A[x] = λ[x] được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ 1:Với A = ( 4 −2 1 1 ) , x = (2; 1), ta = ( 4 −2 1 1 ) 3[x] Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêng λ = 3. Tính chất Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ thì kx, k , 0 cũng là ứng với trị riêng λ. Nếu A có trị riêng λ thì λm là trị riêng của Am. Nếu A có trị riêng λ và |A| , 0 thì λ−m là trị riêng của trị riêng - vectơ riêng Các định ma trận vuông A = (aij) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I. - Ma trận đặc trưng của A là A − λI − λ a12 . . . a1n a21 a22 − λ . . . . an2 . . . ann − Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa thức λ), det(A − λI). - Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A − λI) = 0. Ví dụ 2: Cho A = ( 1 2 3 4 ) , ta có đa thức đặc − λI) = ∣∣∣∣∣ 1 − λ 23 4 − λ ∣∣∣∣∣ = λ2 − 5λ − trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị tìm vectơ riêng, giá trị riêng - Bước 1: Giải phương trình đặc − λI) = 0. Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm. - Bước 2: Giả sử λ0 là giá trị riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính (A − λ0I)X = 0. Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm. Ví dụ 3: Cho A = ( 4 −2 1 1 ) . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc trưng là det(A − λI) = 0⇔ ∣∣∣∣∣ 4 − λ −21 1 − λ ∣∣∣∣∣ = 0⇔ λ2 − 5λ+ 6 = 0 Suy ra λ1 = 2 và λ2 = 3 là hai trị riêng của A. + Ứng với λ1 = 2: + Ứng với λ2 = trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Ví dụ 4: Cho A 0 0 10 1 01 0 Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc 0 1 0 1 − λ 0 1 0 = 0⇔ (1 − λ)(λ2 − 1) = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 là hai trị riêng của A. + Với λ1 = −1, ta có: A − λ1I 1 0 10 2 01 0 1 0 10 1 00 0 x3 = 0 x2 = 0 ⇒ x = α(1; 0;−1) (α , 0) là vetor riêng của trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng + Với λ2 = 1, ta có: A − λ2I −1 0 10 0 01 0 −1 0 10 0 00 0 x1 − x3 = 0 ⇒ x = (α; β;α) là vetor riêng của A. Không gian sử λ là giá trị riêng của ma trận A. Gọi tập hợp các vector riêng ứng với λ và vector không là E(λ). E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ. Ví dụ 4: E(−1) = 〈(1; 0;−1)〉 ; dimE(−1) = 1 E(1) = 〈 (1; 0; 1), (0; 1; = hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Định nghĩa - Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P−1AP. - Ma trận vuông cấp n được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D, tức là, tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP = D. Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. Ví dụ: Hai ma trận A = ( 1 0 6 −1 ) và B = ( −1 0 0 1 ) đồng dạng nhau vì có ma trận P = ( 0 1 1 3 ) khả nghịch thỏa B = dụ: Ma trận A 0 0 00 1 01 0 chéo hóa được, vì có ma trận P 1 0 00 1 0−1 0 thỏa P−1AP 0 0 00 1 00 0 hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận bước chéo hóa ma trận vuông - Bước 1: Giải phương trình đặc − λI) = 0 để tìm trị riêng thực của A. + Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được. + Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. + Trường hợp A có k trị riêng thực λi(i = 1, . . . , k) với λi là nghiệm bội ni trình đặc trưng. i) dimE(λi) = ni,∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. ii) tồn tại dimE(λi) < ni, ta kết luận A không chéo hóa được. - Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λi). - Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của đó, P−1AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường lần lượt là λi (mỗi λi xuất hiện liên tiếp ni hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A 1 −1 02 −1 01 2 det(A − λI) − λ −1 0 2 −1 − λ 0 1 2 3 − = (3 − λ)(1+ trình det(A − λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóa được trên R. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A = ( −3 2 −2 Phương trình đặc − λI) = 0⇔ (λ+ 3)(λ − 1) + 4 = 0⇔ (λ+ 1)2 = 0⇔ λ = −1 (bội 2) (A − λI)X = 0⇔ ( −2 2 −2 2 ) + 2x2 = 0 −2x1 + 2x2 = 0 ⇔ x1 = x2 ⇒ dimE(−1) = 1 < 2⇒ A không chéo hóa hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận A = ( 1 0 6 Phương trình đặc − λI) = ∣∣∣∣∣ 1 − λ 06 −1 − λ ∣∣∣∣∣ = 0⇔ [ λ = −1λ = 1 ⇒ A chéo hóa được. λ = −1 : (A − λI) = ( 2 0 6 0 0 0 ) ⇒ x = (0; 1) λ = 1 : (A − λI) = ( 0 0 6 1 0 0 ) ⇒ x = (1; 3) suy ra P = ( 0 1 1 3 ) và D = ( −1 0 0 1 ) Vậy P−1AP = ( −1 0 0 hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận A 4 2 −1−6 −4 3−6 −6 Phương trình đặc − λI) − λ 2 −1 −6 −4 − λ 3 −6 −6 5 − = 0⇔ (λ − 1)(λ − 2)2 = 0⇔ [ λ = 1 λ = 2 + Với λ = 1 (nghiệm đơn), ta có: A − λI 3 2 −1−6 −5 3−6 −6 3 0 10 1 −10 0 + x3 = 0 x2 − x3 = 0 ⇒ x = dimE(1) = hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông + Với λ = 1 (nghiệm bội 2), ta có: A − λI 2 2 −1−6 −6 3−6 −6 2 2 −10 0 00 0 2x1 + 2x2 − x3 = 0 ⇒ x = α(1; 0; 2) + β(0; 1; 2)⇒ dimE(2) = 2 Vậy A chéo hóa được và P−1AP 1 0 00 2 00 0 với P 1 1 0−3 0 1−3 2 hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối nghĩa Ma trận thực A vuống cấp n được gọi là trực giao nếu ATA = I, tức là A−1 = AT. Ví là ma trận trực lý Nếu A là ma trận đối xứng thì các vector riêng thuộc các không gian nhau là trực tồn tại ma trận trực giao P sao cho P−1AP là ma trận chéo thì A là ma trận chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Các bước chéo hóa ma trận đối xứng - Bước 1:Tìm các trị riêng. - Bước 2: Tìm các vector cơ sở của các không gian riêng. - Bước 3: Chuẩn hóa các vector cơ sở này. - Bước 4: Lập ma trận chéo hóa trực giao của A. Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng A 9 2 22 0 22 2 toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn nghĩa - Dạng toàn phương của n biến x1, x2, . . . , xn (hay là dạng toàn phương trong Kn) là hàm Q từ Kn đến K cho bởi biểu với aij = aji - Nếu ta đặt A a12 . . . a1n a21 a22 . . . . an2 . . . ∈ Mn(K) và X = (x1, x2, . . . , xn)thì dạng toàn phương được viết ở dạng ma = được gọi là ma trận của dạng toàn phương, A là một ma trận đối toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận của q là A = ( 1 −1 −1 Ta có q(x) = [x]TA[x] = (x1 x2) ( 1 −1 −1 2 ) x21 + 2x 2 2 − 2x1x2 Ví dụ: Tìm ma trận của dạng toàn phương q : R3 → R sau q(x) = 2x21 + 3x 2 2 − x23 − 4x1x2 + 2 −2 0−2 3 30 3 toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn Rn, dạng toàn = a11x21 + a22x 2 2 + · · ·+ anx2n gọi là dạng toàn phương chính tắc hay gọi tắt là dạng chính tắc. Ma trận của dạng chính tắc là A = a22 . . . dụ: Trong R2, cho dạng chính tắc có ma trận A = ( 1 0 0 đó, biểu thức của q là q(x) = [x]TA[x] = (x1 x2) ( 1 0 0 −2 ) x21 − toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp lần lượt theo từng biến xi dưới dạng tổng bình phương. Sau đó, ta dựa vào các tổng để đổi hợp 1: (Q(x) có hệ số aii , 0) • Bước 1: Giả sử a11 , 0, ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q(x) và thêm hoặc bớt để có = a11(x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn)2 +Q1(x2; . . . ; xn) Đổi biến y1 = x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn , yi = xi (i = 2, . . . ,n) , tức là x1 = y1 − α12x2 − · · · − α1nxn , xi = yi (i = 2, . . . ,n) Khi đó, Q(x) trở thành Q(x) = a11(y1)2 +Q1(y2; . . . ; yn) • Bước 2: Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1(y2; . . . ; yn). Sau vài bước thì dạng toàn phương Q(x) sẽ có dạng chính hợp 2: (Q(x) có tất cả các hệ số aii = 0) Giả sử a12 , 0, ta thực hiện đổi biến: x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, xi = yi (i = 2, . . . ,n) Khi đó, dạng toàn phương Q(x) = 2a12y21 − 2a12y22 + · · · có hệ số của y21 , 0. Ta thực hiện theo trường hợp toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính = −x22 + 4x23 + 2x1x2 + 1. Biến đổi Q(x) = −(x21 − 2x1x2 + x22) + x21 + 4x23 + 4x1x3 = −(x1 − x2)2 + x21 + 4x23 + = x1 y2 = x1 −x2 y3 = = y1 x2 = y1 −y2 x3 = y3 Khi đó, Q(x) = −y22 + y21 + 4y23 + 4y1y3 với Q1(y) = y21 + 4y23 + 2. Biến đổi Q1(y) = y21 + 4y 2 3 + 4y1y3 = (y1 + = y1 +2y3 z2 = y2 z3 = = z1 −2z3 y2 = z2 y3 = z3 Vậy Q(x) = z21 − z22 = z1 −2z3 x2 = z1 −z2 −2z3 x3 = toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính pháp Jacobi: - Phương pháp Jacobi áp dụng cho dạng toàn phương có ma trận A thỏa = a11 , 0,D2 = ∣∣∣∣∣ a11 a12a21 , 0, . . . ,Dn = det(A) , 0. Khi đó, biến đổi theo công = y1 +b21y2 +b31y3 + · · · +bn1yn x2 = y2 +b32y3 + · · · = yn với bij = (−1)i+j (j < i); Di−1,j là định thức được tạo thành từ i − 1 dòng đầu và i − 1 cột đầu (sau khi đã bỏ cột thứ j)của ma trận A. Khi đó, ma trận đổi biến là P b21 . . . bn1 0 1 . . . . . ... 0 0 . . . dạng chính tắc là : Q = D1y21 + · · toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Q(x) = 2x21 + 3x1x2 + 4x1x3 + x 2 2 + trận của Q: A 2 3 2 2 3 2 1 0 2 0 có: D1 = 2;D2 = ∣∣∣∣∣ 2 323 2 1 ∣∣∣∣∣ = − 14 ;D3 = det(A) = − 174 Ta = 32 2 = −3 4 ; b31 = 32 21 14 = 8 b32 = 2 23 2 14 = −12 Vậy đổi = y1 − 34y2 + 8y3 x2 = y2 − 12y3 x3 = y3 ta được Q = 2y21 − 18y22 + toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý (Luật quán tính) Số hệ số dương và hệ số âm trong dạng chính tắc là những đại lượng bất phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng về dạng chính toàn phương Q(x) được gọi là: - Xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x ∈ Rn và x , 0. - Xác định âm nếu Q(x) < 0,∀x ∈ Rn và x , 0. - Không xác định dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều quả Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định âm khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều âm. Định lý Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị riêng đều quả - Q(x) xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị đều âm. - Q(x) không xác định dấu khi và chỉ khi ma trận của nó giá trị riêng dương và giá trị riêng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý lý (Định lý Dạng toàn phương Q(x) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận của nó đều dương, tức là D1 > 0,D2 > 0, . . . ,Dn > 0. - Dạng toàn phương Q(x) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm, tức là (−1)kDk > 0,∀k. Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = −2x21 − 4x22 − 3x23 + Ma trận của Q là A −2 2 02 −4 00 0 có các định thức con = −2 < 0,D2 = ∣∣∣∣∣ −2 22 −4 ∣∣∣∣∣ = 4 > 0,D3 = |A| = −12 < 0 Vậy Q xác định toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = 7x21 + 2x 2 2 − x23 + Ma trận của Q là A 7 0 30 2 03 0 có các định thức con = 7 > 0,D2 = ∣∣∣∣∣ 7 00 2 ∣∣∣∣∣ = 14 > 0,D3 = |A| = −32 < 0 Vậy Q không xác định toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Định lý dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3: Q(x) = x21 + 4x 2 2 +mx 2 3 − 2x1x2 + 8x1x3 + Ma trận của Q là A 1 −1 4−1 4 24 2 toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính xác định = 1 > 0,D2 = ∣∣∣∣∣ 1 −1−1 4 ∣∣∣∣∣ = 3 > 0,D3 = |A| = 3(m − 28) > 0⇔ m > tri riêng - vect inh tìm vect riêng, giá tri hóa ma trn. Chéo hóa trc nghıa chéo hóa Các bc chéo hóa ma trn hóa trc giao ma trn i toàn phng. Ða DTP v dang chính tc Dang toàn phng Ða dang toàn phng v dang chính tc Dang toàn phng xác inh du. Ðinh lý toàn phng xác inh du Ðinh lý